Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной случайной величины имеют вид

Дисперсия отличается от дисперсия равномерно распределенной случайной величины только множителем (2ⁿ+1)/(2ⁿ-1), который для больших n близок к единице.

Треугольное распределение. Случайная величина X имеет треугольное распределение на интервале [а, b], если ее плотность вероятности вычисляется по Формуле

Для этой случайной величины МХ = (4(а³+6³)-(а+6)³)/ 6(b-a)², DX = (b-a)³/24. Если X_t и Х₂ — независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [a/2, b/2], то случайная величина X = X₁ + Х₂ имеет треугольное распределение на интервале [а,b].

Плотность треугольного распределения

Показательное (экспоненциальное) распределение. Случайная величина X имеет показательное (экспоненциальное) распределе­ние с параметром λ(λ> 0), если ее плотность вероятности вычисляет­ся по формуле

Для этой случайной величины MX = 1/ λ , DX = 1/ λ²; ее функция распреде­ления вычисляется по простой формуле F(u) = 1 - е^λu (u > 0). Эта распределение часто встречается в моделировании случайных процессов (оно обладает так на­зываемым свойством отсутствия последействия).

Плотность показательного распределения Нормальное распределение. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами m и σ2, если ее плотность вероятности вычисляется по формуле

Для этой случайной величины MX = m, DX = σ². Нормальное распределение называют также гауссовским распределением.

Если m=0 и σ² = 1, то распределение называется стандартным нормаль­ным распределением. Линейное преобразование Y = (X - m)/σ приводит про­извольную нормально распределенную величину X к стандартному нормально­му распределению.

Фундаментальная роль, которую играет нормальное распределение в теории вероятностей и математической статистике, объясняется тем, что при достаточно широких условиях распределение суммы случайных величин с ростом числа слагаемых асимптотически сходится к нормальному (центральная предельная теорема теории ве­роятностей).

Плотность нормального распределения

Нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью при­нимает значения, близкие к своему математическому ожиданию.

На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для получения значений х случайной величины ζ используются формулы (алгорит­мы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированными, называются псевдослучайными.

Полу­ченные с помощью генератора псевдослучайные после­довательности чисел должны состоять из квазиравномерно рас­пределенных чисел, содержать статистически независимые числа, быть воспроизводимыми, иметь неповторяющиеся числа, получать­ся с минимальными затратами машинного времени, занимать ми­нимальный объем машинной памяти.

Цель работы: получение последовательности квазиравномерной случайной величины и проверка её на равномерность (создание генератора непрерывных случайных равномерно распределенных величин, прини­мающих любые значения на интервале между дву­мя точками а и b (a<b) с равной вероятностью.)

Задание 1. Написать программу, которая:

• получает последовательности из n чисел, равномерно распределенных на интервале (a, b) с помощью специальной функции (random());

• проверяет эти последовательности на равномерность.

Проанализировать влияние на качество получаемой последовательности метода её получения и величины n.

Формула, используемая для создания генератора случайных чисел равномерно распределенных на интервале (a, b), использующая функцию random()), имеет следующий вид:

a + ( b -а)* random()).

Проверка качества последовательностей псевдослучайных чисел {x_i} на равномерность может быть выполнена с помощью гистограмм. Интервал (0, 1) разбивается на т равных частей (подынтервалов), тогда при генерации последовательности {x_i} каждое из чисел х_j с вероятностью p_j= 1/m, j= 1,2,…,m, попадает в один из подынтервалов.

Таким образом, гистограмма наглядно представляет распределение значений рассматриваемой величины. Допустим, имеется n измерений некоторой величины х₁, х₂, ..., х_n. Для построения гистограммы выполним следующие действия.

1. Определим размах выборки х₁, х₂, ..., х_n , т.е. R = x_max - x_min

2. Интервал R делим на m равных участков (допустим ), желательно, чтобы 5<= m<=20; тогда ширина одного участка s = r/m.

3. Определяем количество значений x_i , попавших в каждый из m участков. Для этого используем формулу для номера участка, в который попадает значение x_i: k:=[(x[i]-x_min)/s]+1, где k - номер участка в который попадает значение x[i], s - ширина одного участка, учтем, что применение этой формулы для x_max дает k= m + 1.

4. Строим m столбцов равной ширины, высота столбцов пропорциональна количеству значений x_i , попавших в соответствующий участок интервала.

В результате вместо n чисел получим m чисел (m<<n).

Задание 2. Реализовать требования задания 1 для равномерно распределенных дискретных случайных величин, для симметричного треугольного и нормального распределений.

Формулы для создания генераторов случайных целых чисел:

• типа а, а+1, а+2,..., а+n-1, выдаваемых с равной вероятностью, будет иметь сле­дующий вид:

ЦЕЛОЕ(n*СЛЧИСЛ)+а;

• для симметричного треугольного распределения a + ( b - а)*(СЛЧИСЛ1+СЛЧИСЛ2)/2;

• для нормального распределений имеющего среднее зна­чение μ, (соответствующее максимальной вероятности) и среднеквадратическое отклонение σ, (определяющее ширину или размах распределения) числа an можно получить с помощью алгоритма:

a :=0.0;

for i=1 to 12 do a := a + random()

an:= μ + (a-6.0)* σ;

• псевдослучайную последовательность, распределенную по экспоненциальному закону можно получить с помощью алгоритма:

r := log(random());

me := μ *(-r); μ – математическое ожидание