Лабораторная работа №1

Генератор случайных чисел

Теоретическое обоснование.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (какое именно, заранее неизвестно). Вероятностные свойства случайных величин описываются законом распреде­ления, т.е. соотношением, устанавливающим связь между возможными значе­ниями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон рас­пределения может иметь различные формы. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной называют величину, принимающую только конечное или счетное множество значений. Для описания дискретной случайной величины X, принимающей конечное множество значений, часто применяется таблица вида

xi	x1	x2	…	xn-1	xn
P(X=xi)	p1	p2		pn-1	pn

Здесь x_i — возможные значения случайной величины X, p_i = Р(Х = x_i) — ве­роятность события, что случайная величина X примет значение x_i (1 < i < n). Отметим, что

В последнем выражении суммирование ведется по всем таким номерам i, для которых х_г < и. Совокупность вероятностей p_i = Р(Х = x_i) часто называют функцией веро­ятностей, а вероятность

Р(Х < и) обозначают как F(u) и называют функцией распределения случайной величины X.

Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возмож­ные значения которой непрерывно заполняют какой-либо интервал (в том числе, бесконечный). Для непрерывной случайной величины X в качестве закона распределения выступает функция распределения F(u), численно равная вероят­ности того, что случайная величина X окажется меньше заданного числа и, т.е. F(u) = Р(Х < и). Функция F(u) — непрерывная функция, неубывающая и при­нимающая значения в интервале от 0 до 1.

Отметим, что распределение непрерывной случайной величины невозможно задать с помощью вероятностей отдельных значений подобно распределениям дискретных случайных величин, поскольку Р(Х = x) = 0 для любого значения х. Но если функция F(u) дифференцируемая, то можно определить вероятность по­падания случайной величины X в какой-либо малый интервал длиной dx, при­мыкающий к точке х, и при этом Р(х <= X <= х + dx) = f(x)dx, где f(x) — произ­водная функции F(u) в точке х. Функция f(x) называется плотностью вероятности случайной величины X. Она может принимать только неотрица­тельные значения. Из определения плотности вероятности следует, что

U +∞ b

F(u) = ∫ f(x)dx, ∫ f(x)dx = 1, P(a < X < b) = ∫f(x)dx = F(b)- F(a).

-∞ -∞ a

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Чтобы оп­ределить закон распределения случайной величины, достаточно задать ее плот­ность вероятности или функцию распределения. Однако, для решения многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числа, характеризующие распределение, так называемые числовые характеристики случайной величины. Из числовых характеристик наиболее часто используются моменты случайной величины. Первый момент называется математическим ожиданием (или средним случайной величины) и вычисляется по одной из следующих формул (первая форму­ла применяется для дискретных случайных величин, а вторая — для непрерывных):

MX=∑x_ip_i MX=∫xf(x)dx

Величина MX характеризует среднее положение значений случайной вели­чины X.

Второй центральный момент характеризует разброс значений случайной величины вокруг зна­чения MX и называется дисперсией. Дисперсия DX (часто также используют обозначение σ² или σ_х²) вычисляется по формулам (первая формула применяется для дискретных случайных величин, а вторая — для непрерывных)

Равномерное непрерывное распределение. Непрерывная случайная величина ξ имеет равномерное распределение в интервале (a,b), если её функция плотности f(x) и распределения F(x) имеют вид:

или графически

В этом случае числовые характеристики случайной величины ξ, принимающей значения x – математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно будут:

Если границы интервала a=0, b=1 то функции плотности и распределения имеют вид

а математическое ожидание M|ζ| = 1/2 и дисперсия D|ζ| = 1/12.

Это распределение нужно получить на компьютере. Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с n-разрядными числами. По­этому на ЭВМ вместо непре­рывной совокупности равно­мерных случайных чисел ин­тервала (0, 1) используют дискретную последователь­ность 2n случайных чисел то­го же интервала. Закон рас­пределения такой дискрет­ной последовательности на­зывают квазиравномерным распределением.