1.2.Принцип суперпозиции электрических полей
Основная задача электростатики заключается в том, чтобы найти величину и направление вектора напряженности в каждой точке поля по заданному распределению в пространстве и величине электрических зарядов.
Рассмотрим
поле, созданное системой точечных
зарядов
.
В механике рассматривался принцип
независимости действия сил. Согласно
этому принципу, результирующая сила
,
действующая со стороны исследуемого
поля на пробный заряд
,
равна векторной сумме сил
,
приложенных к нему со стороны каждого
из зарядов
,
,
(1.1)
но
известно , что
;
и
,
где
-
напряженность результирующего поля;
- напряженность поля, создаваемого одним
зарядом
.
Тогда
(выражение (1.1) разделили на
)
- напряженность электрического поля
системы точечных зарядов равна векторной
сумме напряженностей полей, создаваемых
каждым из этих зарядов в отдельности.
Таким образом, результирующее поле можно найти простым наложением (суперпозицией) полей отдельных зарядов. В этом и состоит принцип суперпозиции полей, или принцип независимых действий электрических полей.
Пусть
- радиус-вектор, проведенный из точечного
заряда
в исследуемую точку поля. Тогда
напряженность, создаваемая этим зарядом
в данной точке поля
,
а результирующая напряженность
.
Каждое
протяженное заряженное тело можно
разбить на столь малые части, что каждая
из них будет представлять собой точечный
заряд
.
Поэтому формула эта пригодна для расчета
любых электрических полей.
1.3.Потенциальный характер электростатического поля. Работа сил поля при перемещении зарядов. Циркуляция и ротор вектора напряженности
Работа,
совершаемая силами электростатического
поля при перемещении заряда
на отрезок
равна:
Работа по перемещению единичного положительного заряда :
Работа,
совершаемая при перемещении единичного
положительного заряда по конечному
пути
,
определяется интегралом:
.
(1.2)
Здесь - сила Кулона, которая является центральной силой. Из механики известно, что поле центральных сил консервативно. Следовательно, работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, а определяется только начальной и конечной ее точками. Работа по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Тогда из (1.2) имеем:
(1.3)
Интеграл
по замкнутому контуру
называется циркуляцией вектора
напряженности по этому контуру. Выражение
(1.3) представляет собой теорему о
циркуляции вектора
-
в электростатическом поле циркуляция
вектора напряженности
по замкнутому пути равна нулю.
Докажем
потенциальный характер электростатического
поля. Рассмотрим сначала работу
электрических сил в поле элементарного
точечного заряда
.
Работа этих сил при бесконечно малом
перемещении
пробного единичного положительного
заряда равна:
,
где
- проекция перемещения пробного заряда
на радиус-вектор
,
проведенный из возбуждающего поле
заряда
.
Из рис. 2 видно, что
- это
приращение численного значения
радиус-вектора
,
то есть увеличение расстояния пробного
заряда
от заряда
.
Поэтому работа
может быть представлена как полный
дифференциал скалярной функции
:
,
где
- модуль радиус-вектора
.
Тогда работа по перемещению единичного
положительного заряда из точки
в точку
по конечному пути
:
,
где
и
- расстояния начальной и конечной точек
пути от заряда
.
Таким образом, работа электрических
сил на произвольном пути в поле
неподвижного
э
лементарного
точечного заряда действительно зависит
от положений начальной и конечной точек
этого пути и не зависит от формы пути,
и поле неподвижного точечного заряда
есть поле потенциальное.
На рис.3
работа на пути
равна работе на пути
.
Очевидно, сумма потенциальных полей тоже есть потенциальное поле (так как если работа слагаемых сил не зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее не зависит). Поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого из точечных зарядов, поэтому всякое электростатическое поле есть поле потенциальное.