Раздел 7

Преобразования сигналов

в нелинейных радиотехнических

цепях

Все радиотехнические цепи, рассмотренные нами ранее относились к классу стационарных линейных систем. За­мечательной особенностью линейной цепи является справед­ливость для нее принципа суперпозиции. Из этого принципа и из условия стационарности вытекает простое и важное следствие — гармонический сигнал, проходя через ли­нейную стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу.

Однако именно поэтому линейная стационарная система неспособна обогатить спектральный состав колебаний, по­данных на ее вход. Это обстоятельство в значительной степени сужает класс полезных преобразований сигналов, которое осуществляются линейными цепями с постоянными параметрами.

Гораздо большими возможностями в этом отношении обладают нелинейные системы, в которых связь между входным сигналом u_вх(t) и выходной реакцией u_вых(t) уста­навливается нелинейной функциональной зависимостью

В настоящей главе будут рассмотрены общие законо­мерности, присущие простейшим нелинейным системам, приемы их математического исследования, а также некото­рые виды преобразований сигналов, осуществляемых с по­мощью нелинейных цепей и устройств.

Лекция16. Безынерционные нелинейные преобразования

Исследование нелинейной цепи в общем случае — задача весьма сложная в том отношении, что при математи­ческом описании функционирования такой системы мы стал­киваемся с проблемой решения нелинейных дифференциаль­ных уравнений. Известно, что здесь неприменимы боль­шинство приемов и методов, которые позволяют относи­тельно легко решать линейные дифференциальные уравне­ния с постоянными коэффициентами. Тем не менее в ряде случаев исследование нелинейных систем удается довести до конца простыми способами. Для этого достаточно потре­бовать, чтобы нелинейная зависимость вида (11.1) не содер­жала явно времени. Физически такое требование означает безынерционность нелинейного элемента, т. е. мгновенное установление выходной реакции вслед за изменением внеш' него входного воздействия.

Безынерционных нелинейных элементов, строго говоря, не существует. Однако эта идеализация достаточно точна, если характерное время изменения входного сигнала зна­чительно превышает время установления процесса внутри самого нелинейного элемента.

В радиотехнике нелинейные элементы — это чаще всего полупроводниковые приборы — диоды, биполярные и полевые транзисторы. Современные полупроводниковые приборы до­статочно совершенны по своим частотным свойствам. Поэтому предположение о безынерционном характере внутренних процессов в нелинейных радиотехнических элементах часто бывает оправданным.

Внешние характеристики безынерционных нелинейных элементов. Функциональную зависимость вида (11.1) можно рассматривать как простейшую математическую модель не­линейного элемента. Особенность ее состоит в том, что здесь не фигурируют процессы, происходящие внутри элемента. Принято говорить, что здесь имеют дело с внешней характеристикой системы.

а - однозначная характеристика полупроводникового диода; б — характе­ристика туннельного диода, отличающаяся тем, что одному и тому же значению тока могут соответствовать три различных значения напряжения

Ниже для конкретности будут рассматриваться внешние характеристики нелинейных двухполюсников, когда входным сигналом служит напряжение и, а выходным — ток i в двух­полюснике. Зависимость i(u) обычно принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ) нелинейного элемента. Все методы и результаты можно перенести и на случай нелинейного четырехполюсника, например транзистора, рабо­тающего в нелинейном режиме при больших амплитудах входного сигнала. Здесь выходная цепь представляется источником тока, управляемым входным напряжением; связь между мгновенными значениями напряжения и тока оказывается существенно нелинейной.

Используемые на практике нелинейные элементы имеют Разнообразные внешние характеристики. Так, можно выде-Лить класс элементов с однозначными вольт-амперными характеристиками (рис. 11.1, а) и класс элементов, характе­ристики которых содержат участки многозначности (рис. 11.1, б).

Сопротивление нелинейного двухполюсника. Понятие сопро тивления для нелинейного двухполюсника можно опреде лить по-разному. Пусть i(u) — вольт-амперная характеристика" Приложив к двухполюснику постоянное напряжение и = U₀ имеем в цепи ток /₀ = i(U₀). Отношение

называют сопротивлением элемента постоянному току. В от личие от обычного сопротивления линейного резистоп значение величины R- не постоянно, а зависит от прило женного напряжения.

Часто приходится иметь дело с одновременным воз­действием на нелинейный элемент двух источников напря-жения: U₀ и и, причем | и |/| U₀ | << 1. Разложив вольт-амперную характеристику в ряд Тейлора в окрестности точки U₀, находим ток i = I₀ + i'(U₀)u. Отношение при-ращения напряжения к приращению тока в выбранной рабо­чей точке (U₀, Iо) называют дифференциальным сопротив­лением нелинейного двухполюсника:

Иногда удобнее пользоваться дифференциальной крутизной ВАХ

которая является тангенсом угла наклона касательной вольт-амперной характеристики в данной рабочей точке.

Подчеркнем, что, вводя понятие дифференциального сопро­тивления или дифференциальной крутизны, мы, по сути дела, линеаризуем реальную ВАХ, что справедливо лишь для ма­лых приращений сигнала относительно рабочей точки.

Способы описания характеристик нелинейных элементов. Как правило, вольт-амперные характеристики нелинейных элементов получают экспериментально; гораздо реже удается найти их из теоретического анализа. Для изучения процес­сов в радиотехнических цепях, содержащих такие элементы, необходимо прежде всего отобразить вольт-амперные харак­теристики в математической форме, пригодной для расчетов.

Простым и весьма точным способом может явиться представление характеристики в виде таблицы. Этот спосоо особенно удобен для анализа процессов в цепях с по­мощью ЭВМ; аргумент и функция образуют в запоми­нающем устройстве двумерный массив чисел.

Если исследование должно проводиться не численным • а аналитическими методами, то требуется подобрать таку аппроксимирующую функцию, которая, будучи довольно простой, отражала бы все важнейшие особенности экспе риментально снятой характеристики с достаточной степень точности.

В радиотехнике чаще всего используют следующие спо собы аппроксимации вольт-амперных характеристик нелиней ных двухполюсников.

Кусочно-линейная аппроксимация. Данный способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. В качестве при­зера на рис. 11.2 показана входная характеристика реаль-_Ого транзистора, аппроксимированная двумя, отрезками _ярямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами — напря­жением начала характеристики U_H и крутизной S, имеющей „азмерность проводимости. Математическая форма аппрокси­мированнойВАХ такова:

Н апряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0.2-0.8 В; крутизна характе­ристики тока базы i_Б(и_БЭ), как правило, около 10 мА/В. Если же говорить о крутизне характеристики i_к(u_бэ) тока коллектора в зависимости от напряжения база - эмиттер, то последняя цифра должна быть умножена на h_21Э — коэффициент усиления тока базы. Поскольку h₂₁₃ = 100 / 200, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт (сименсов).

Степенная аппроксимация. Этот способ основан на разло­жении нелинейной вольт-амперной характеристики i(u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U_n:

Здесь коэффициенты а₀, а_и а₂,...- некоторые числа. Коли­чество членов разложения зависит от заданной точности Расчетов.

Способ нахождения коэффициентов степеней аппрокси-мации иллюстрируется следующим простым примером.

Показательная аппроксимация. Из теории работы р-n-пере-ходов следует, что вольт-амперная характеристика полупро­водникового диода в области и > 0 описывается выражением

Здесь I₀ — обратныйт ок насыщения, и_T— температурный по­тенциал, равный 25 мВ для кремниевых приборов при стандартной температуре 300 К.

Показательную зависимость вида (11.7) часто используют при изучении нелинейных явлений в радиотехнических цепях, содержащих полупроводниковые устройства. Аппроксимация вполне точна при значениях тока, не превышающих несколь­ких миллиампер. При больших токах экспоненциальная ха­рактеристика плавно переходит в прямую линию из-за влия­ния объемного сопротивления полупроводникового мате­риала.

7.2. Спектральный состав тока

в безынерционном нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии

Рассмотрим явления в простейшей цепи, образованной последовательным соединением источника гармонического сигнала и_с (t) = U_m cos t, источника постоянного напряжения смещения U₀ и безынерционного нелинейного элемента. Найдем форму тока в цепи, воспользовавшись несложными графическими построениями, приведенными на рис. 11.4.

Легко видеть, что формы тока и напряжения оказываются здесь различными. Причина искажения кривой тока очень

проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают не­одинаковые приращения тока, поскольку i = S_диф(u) u, а диф­ференциальная крутизна вольт-амперной характеристики на разных участках также различна.

Основной принцип. Подходя к описанной задаче аналити­чески, будем считать известной нелинейную функцию i (и) = = i (u_c, U₀).

Пусть к входным зажимам нелинейного двухполюсника приложено напряжение сигнала и_с (t) = U_m cos (wt + ф). Если ввести безразмерную переменную  = wt + ф, то функция

оказывается периодической относительно аргумента , с пе­риодом 2л, поэтому она может быть представлена рядом Фурье

с коэффициентами

Поскольку функция i( четная, ряд Фурье (11.9) будет содержать только косинусоидальные слагаемые:

Амплитудные коэффициенты гармоник выражаются сле­дующим образом:

J

Формулы( 11.10) и (11.11) дают оощее решение задачи о спектре тока в нелинейном безынерционном элементе при гармоническом внешнем воздействии. Оказывается, что ток

кроме постоянной составляющей I₀, содержит бесконечную последовательность гармоник с амплитудами I_n, п = 1, 2 Амплитуды гармоник в соответствии с (11.11) зависят от параметров U_m и U₀, а также от вида аппроксимирующей функции.

Кусочно-линейная аппроксимация. Форма тока в цепи, со­держащей нелинейный элемент с характеристикой

Г рафиктока имеет характерный вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Спектральный состав такого периоди­ческого процесса подробно изучался в гл. 2.

Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства

Постоянную составляющую и амплитуды гармоник токa вычисляют по формулам

Показательная аппроксимация. В случае, когда ВАХ двух полюсника аппроксимирована выражением

где 1_к (т) — модифицированная функция Бесселя к -го индекса Если к нелинейному двухполюснику с экспоненциальной характеристикой приложена сумма напряжений смещения и гармонического сигнала, т. е. и = U₀ + U_m cos t, то

Нелинейные искажения в усилителе с резистивной нагруз­кой. Трансформация спектра входного сигнала в нелинейных цепях является чрезвычайно важным явлением. С одной стороны, на нем основана работа целого ряда радиотехни­ческих устройств (модуляторов, детекторов и т. д.), которые будут рассмотрены ниже; с другой, из-за нелинейности ха­рактеристик возникают некоторые нежелательные эффекты, которые необходимо оценивать и учитывать.

Рассмотрим, например, транзисторный усилитель, нагруз­кой которого служит резистор R_H. В отличие от усилителя малых сигналов (см. гл. 8) будем полагать, что амплитуда входного гармонического сигнала U_mBX достаточно велика для того, чтобы сделать обязательным учет нелинейности проходной характеристики транзистора i_к(u_бэ)- Пусть в про­стейшем случае эта характеристика при некотором выборе рабочей точки задается многочленом второй степени:

Подав на вход усилителя напряжение

в коллекторной цепи будем иметь постоянную составляющую тока, а также токи, отвечающие первой и второй гармоника частоты сигнала, причем на основании (11.19)

Эти гармоники тока, проходя через резистор нагрузки создают на нем падение напряжения, которое является выходным сигналом. Для того чтобы количественно оценить степень искажения сигнала на выходе усилителя, вводят

в еличину к_нл, называемую коэффициентом нелинейных иска­жений усилителя и равную отношению среднеквадратиче-ского уровня всех высших гармоник тока к амплитуде тока полезного сигнала:

Заметим,что коэффициент нелинейных искажений увели чивается с ростом амплитуды сигнала.

Лекция19. Получение модулированных радиосигналов

Подавая на безынерционный нелинейный элемент сумму исходных колебаний, в выходном сигнале можно наблюдать всевозможные комбинационные составляющие. Если теперь пропустить выходной сигнал через линейный частотный фильтр, то можно выделить ряд полезных компонентов преобразованного сигнала. На этом принципе основана ра­бота большого числа радиотехнических устройств, в част­ности модуляторов.

Принцип работы амплитудного модулятора. Амплитудным модулятором называют устройство, создающее на выходных зажимах АМ-сигнал вида u_AM (t) = U_m(1+ М cos t) cos _0t при подаче на входы цепи гармонического несущего коле­бания u_нес (t) = U_mHec cos ₀f и низкочастотного модулирующе­го сигнала u_мод(t) = U_mмодcost. Чаще всего амплитудные модуляторы строят, используя эффект преобразования спектра суммы двух сигналов в безынерционном нелинейном эле­менте.

Простейшим амплитудным модулятором служит нелиней­ный усилитель, у которого резонансный контур в выходной цепи настроен на частоту несущего колебания. К входу модулятора приложено напряжение

Принцип работы данного модулятора поясняется осцилло­граммами напряжений и токов, показанными на рис. 11.8.

Для определенности считается, что проходная характе­ристика транзистора аппроксимирована отрезками двух пря­мых. За счет того, что рабочая точка перемещается в такт с низкочастотным модулирующим колебанием, происходит непрерывное изменение угла отсечки несущего сигнала. Амплитуда первой гармоники последовательности импульсов коллекторного тока оказывается не постоянной во времени. Колебательный контур фильтрует коллекторный ток, выделяя на выходе АМ-сигнал, т. е. несущее колебание с переменной амплитудой, пропорциональной полезному модулирующему сигналу.

Аналитическое рассмотрение. Процесс получения АМ-сиг-нала можно изучить аналитически, применив развитую выше теорию комбинационных частот. Пусть на входе нелинейного элемента с характеристикой простейшего вида (11.29) дейст­вует напряжение и_ш (г) = U₀ + U_mMOa cos Qf + U_mHec cos co₀t, ^ПР^И" чем со₀ з> Q.

В составе тока, проходящего через двухполюсник, можно выделить составляющие с частотами, близкими к ©₀> которые образуют амплитудно-модулированный ток

_Vii. ■-/

Как известно (см. гл. 4), относительный уровень боковых

колебаний по сравнению с несущим колебанием равен М/2.

Из формулы (11.43) следует, что в данном случае коэффи­циент амплитудной модуляции выходного сигнала

M = (2a₂/a₁)U_mMOa. (11.44)

Получение сигналов с балансной модуляцией. Схему ампли­тудного модулятора можно видоизменить таким образом, что на выходе устройства будет получен сигнал с подавлением несущим колебанием, т. е. сигнал с балансной модуляцией (см. гл. 4).

Структурная схема балансного модулятора представлена на рис. 11.9.

Здесь несущее гармоническое колебание с частотой w₀ синфазно подводится к нижним входам двух одинаковых амплитудных модуляторов АМ_г и АМ_2. Модулирующий сиг­нал s(t) поступает на модулятор АМ₁ через инвертор И₁ имеющий коэффициент передачи, равный — 1. Поэтому на выходах модуляторов будут получены сигналы

представляет собой произведение модулирующего и несущего колебаний, т. е. действительно является балансно-модулиро-ванным колебанием.

Получение сигналов с угловой модуляцией. В 30-х годах Армстронг предложил эффективный метод получения радио­ сигналов с угловой модуляцией (ЧМ- и ФМ-сигналов). Струк­ турная схема модулятора Армстронга изображена на Рис. 11.10.

Здесь к одному из входов сумматора приложен сигнал v₁ поступающий с балансного модулятора БМ. На второй вход сумматора подается, немодулированный сигнал v₂ с вы- хода фазовращателя, изменяющего фазу гармонического сиг­нала несущей частоты на 90° в сторону запаздывания. Таким образом, сигнал на выходе данного модулятора

Для того чтобы убедиться, что формула (11.47) действи­тельно описывает сигнал с угловой модуляцией, рассмотрим векторную диаграмму этого колебания. Немодулированной составляющей U_m2 sin w₀t отвечает постоянный вектор ОВ длиной U_m2. Балансно-модулированный сигнал U_mls (t) cos w₀t отображается вектором ВА. Длина этого вектора U_mls{t) непостоянна во времени, однако он всегда перпендикулярен вектору ОВ. Ясно, что результирующий вектор ОА с тече­нием времени будет поворачиваться, имея центр вращения в точке О. Угол ф (г), входящий в выражение  (t) = m₀t + ф (t) полной фазы сигнала на выходе модулятора, очевидно, можно найти из соотношения tg ф (г) = U_mls(t)/U_m2.

Обычно стремятся получить линейную зависимость между сигналом s (t) и фазовым углом ф (t). Для этого устанавли­вают такой режим работы модулятора, когда U_ml << U_m2, так что

В этом случае мгновенная частота выходного сигнала приближенно пропорциональна производной низкочастотного передаваемого колебания:

Итак, модулятор Армстронга согласно выражению (11.48) должен работать с малым индексом модуляции, т. е. с ма­лой девиацией частоты. Чтобы преодолеть этот недостаток, в передатчиках ФМ- и ЧМ-сигналов после модулятора предусматривают многократное умножение частоты. Если на входе умножителя девиация частоты составляет , то на выходе она будет равна n, где п — кратность умножения.