Глава 1. Выбор потребителя в условиях неопределенности. Функция ожидаемой полезности Неймана-Моргенштерна Краткие сведения из теории.
В условиях неопределенности для описания экономического поведения людей применяется подход, опирающийся на представления об ожидаемой полезности.
Допустим, индивид предполагает, что его будущее личное потребление c зависит от случая, причем набор возможных вариантов включает k значений потребления
,
вероятности которых равны соответственно
.
Тогда функция ожидаемой полезности
будущего потребления
(другое обозначение Eu(c)
– expected
utility)
определяется соотношением [3,7,11,13]
(при непрерывном распределении вероятностей суммирование по набору вариантов заменяется на интегрирование). Здесь u(c) – индивидуальная функция полезности потребителя [3,7]; угловые скобки означают статистическое усреднение (усреднение по вероятности) [1,2].
Дж.Фон-Нейманом и О.Моргенштерном [7] было показано, что именно такое представление для функции ожидаемой полезности позволяет описывать выбор индивидуальных экономических решений в условиях неопределенности – из множества различных решений предпочтительнее оказывается то, которое приводит к наибольшей ожидаемой полезности. Экономические решения, обладающие одинаковой ожидаемой полезностью, считаются равноценными.
Подход, связанный с функцией ожидаемой полезности, обобщает теорию поведения потребителей (микроэкономическую теорию спроса) на случай возможной неопределенности и является основой теории оценивания рискованных финансовых активов.
Некоторые модельные индивидуальные функции полезности, используемые в дальнейших расчетах [11].
Простейшая квадратичная функция полезности
,
(1)
где
-
параметр (предполагается, что
).
Функция предельной полезности (первая
производная) для этой модели линейна:
.
2. Экспоненциальная функция полезности CARA («constant absolute risk aversion»)
(2)
с параметром . Предельная полезность для этой функции равна
3. Логарифмическая функция полезности
(3)
с параметром , предельная полезность для которой имеет вид
.
4. Степенная функция полезности CRRA («constant relative risk aversion»)
,
(4)
где
параметр
может принимать значения
.
Чтобы избежать особенности предельной
полезности при
,
в функцию полезности иногда вводят
параметр
:
.
(4’)
Предельная полезность при этом равна
.
Задача 1.1
Индивидуальному потребителю К*, владеющему богатством W, предлагают участвовать в игре (лотерее), результатом которой случайным образом может быть либо выигрыш 1000 у.е., либо отсутствие выигрыша, причем вероятности обоих исходов одинаковы и равны ½.
Определите сумму P, которую потребитель сочтет целесообразным заплатить за лотерейный билет («безрисковый эквивалент» рискованного дохода от игры). Проведите вычисления для случая, когда W = 1200 у.е. , а функция полезности г-на К* описывается логарифмической моделью (3) с параметром = 300 у.е.
Решение. Безрисковый эквивалент P находится из условия неизменности функции ожидаемой полезности индивида при покупке билета по цене P.
В результате покупки билета и участия в игре богатство индивида К* может стать с равными вероятностями ½ либо W – P +1000 (выигрышный билет), либо W – P (билет без выигрыша). Приравнивая полезность потребления до покупки билета и ожидаемую полезность потребления после участия в игре, получаем
.
Для логарифмической функции полезности вида (3)
Пользуясь правилами действий с логарифмами, получаем
Решая квадратное уравнение относительно P, находим
.
Для заданных значений параметров P = 418,86 у.е.
Постройте график зависимости безрискового эквивалента от исходного богатства потребителя W. Как можно объяснить построенную зависимость?
Предположим, потребитель покупает набор из двух лотерейных билетов. Рассчитайте безрисковый эквивалент P2 («справедливую стоимость») дохода от такого набора и сравните его с результатом части 1 настоящей задачи. Почему безрисковый эквивалент покупки двух билетов отличается от удвоенного безрискового эквивалента одного лотерейного билета?
Указание: для расчетов воспользуйтесь функцией меню MsExcel «Сервис – Подбор параметра» [4].
Определите безрисковый эквивалент дохода от игры для случая, когда функция полезности потребителя является экспоненциальной (модель (2)). Зависит ли результат от исходного богатства потребителя W? Почему? Вычислите безрисковый эквивалент при значении параметра функции полезности = 300 у.е.