3.2. Характеристические пространства тензора

1. Ранее говорилось, что необратим (вырожден), если из , что . При l = l_k (произвольный элемент спектра тензора T) тензор T - lI  необратим. Рассмотрим действительный элемент спектра l, который всегда существует Тогда необратимость T - lI  означает существование из , такого, что

, . (3.2.1)

Другими словами, матрица компонент тензора T - lI  в каком-либо смешанном базисе является вырожденной, следовательно существует нетривиальное решение уравнения

. (3.2.2)

В случае l_k, не являющегося действительным числом, обязательно компоненты вектора также не будут действительными числами, и . Действительно, переписывая систему (3.2.2) в виде

,

получаем, что в случае в ней содержалось бы противоречие: в левой части стоял бы вектор с комплексными компонентами, а справа — с действительными.

2. Векторы, найденные из системы уравнений (3.2.1) при действительных собственных значениях T, называются собственными векторами тензора T. Из однородности уравнения (3.2.1) видно, что собственные векторы находятся с точностью до скаляра, то есть если t — собственный вектор, , то и at также будет собственным вектором: . Направления в , соответствующие направлениям (с точностью до противоположного) собственных векторов T, называют главными направлениями T. Поскольку тензор из всегда имеет хотя бы одно действительное собственное значение, он всегда имеет хотя бы одно главное направление.

3. Если известен тензор T, то собственные числа и векторы можно найти следующим образом. Из (3.2.2) условие вырожденности матрицы смешанных компонент в левой части уравнения запишется как

(3.2.3)

и представляет собой кубическое уравнение относительно l. По доказанному в предыдущем разделе условие (3.2.3) эквивалентно условию (3.1.12), следовательно (3.2.3) — ни что иное, как характеристическое уравнение (3.1.13) тензора T. Из (3.2.3) находить собственные значения легче ввиду громоздкости процедуры определения коэффициентов J_i характеристического уравнения (3.1.13) по выражениям (3.1.4)-(3.1.6). После нахождения собственных значений для каждого действительного из них может быть найден по крайней мере один (следует из свойств решений систем линейных однородных уравнений) собственный вектор из решения системы (3.2.1), в матричной форме принимающей вид

. (3.2.4)

Если каких-либо два уравнения системы зависимы, то одно из них отбрасывают, если зависимых уравнений три — отбрасывают два. Вследствие однородности системы (3.2.4) для нахождения собственного вектора фиксированной (единичной) длины следует заменить одно из оставшихся уравнений условием нормировки .

4. Переписывая (3.2.1) в виде

, (3.2.5)

получим, что тензор T действует как линейный оператор на вектор t таким образом, что образ t коллинеарен самому t ( ). Исследуем возникающие в связи с геометрическим смыслом собственных векторов примеры.

А. — изотропное растяжение (сжатие) пространства , очевидно, являющееся линейным оператором, собственные векторы которого — все векторы .

Подробнее, собственное число данного линейного отображения l = q (кратности 3), Действительно, необратимость равносильна , что , откуда в силу свойства в) линейного пространства l = q. Далее, из уравнения в силу тождества а) линейного пространства следует, что x — любой вектор . При l = 1 получим тождественное преобразование , а при l = -1 — инверсию .

B. Рассмотрим линейный оператор вида

.

Этот оператор задает поворот в , причем образ никогда не направлен в противоположную сторону ( ). Следовательно, собственных векторов в (над R ) такой оператор не имеет.

Решая характеристическое уравнение (3.2.3), можно найти два собственных числа , не являющихся действительными. Следовательно, никакие собственные направления им не соответствуют.

C. Оператор растяжения вдоль оси e₂: . Данный оператор представляется матрицей компонент в базисе e₁, e₂. Очевидно, что главные направления задаются базисными векторами e₁ и e₂, а собственными числами будут 1 и e соответственно. В данном примере векторы e₁ и e₂ могут быть и не ортогональными. Критерий собственных векторов и собственных чисел (3.2.5) выполняется вне зависимости от взаимной ориентации главных направлений.

D. Оператор простого сдвига вдоль оси e₁: . Очевидно, что главное направление здесь — ось e₁ (направление любого отрезка, параллельного e₁, не изменяется), а собственное значение — 1 (длина рассматриваемого отрезка, параллельного e₁, не изменяется).

E. Оператор растяжения в трех направлениях , . Можно проверить, что e_i задают главные направления, а собственные числа, соответствующие им, есть e_i. (Действительно, берем например , тогда , и т. д.).

Последовательное осуществление линейных преобразований пространства представляется произведением соответствующих тензоров; к этому случаю мы вернемся в конце главы 5.

5. Характеристическими пространствами тензора называются векторные пространства его собственных векторов, соответствующих действительным элементам спектра тензора. Следовательно характеристических пространств у тензора столько, сколько у него различных действительных элементов спектра. Некоторую (иногда исчерпывающую) информацию о взаимном расположении и размерностях характеристических пространств тензора несет его спектр.

6. Любая тройка собственных векторов, соответствующих различным собственным числам тензора с простым спектром, линейно независима.

Докажем это утверждение.

Дано , , l₁ ¹ l₂  ¹ l₃  ¹ l₁.

Докажем сначала, что любые два собственных вектора (например, ) линейно независимы. Рассмотрим

. (3.2.6)

Умножим скалярно (3.2.6) справа на T и используем условие (3.2.5)

. (3.2.7)

Умножим (3.2.6) на l₂ и вычтем из последнего равенства

.

Так как и , то . Аналогично, умножая (3.2.6) на l₁ и вычитая из (3.2.7), получим . Следовательно, любые два собственных вектора линейно независимы.

Рассмотрим линейную комбинацию трех собственных векторов

. (3.2.8)

Умножая (3.2.8) справа на T и используя (3.2.5), получим

. (3.2.9)

Умножая (3.2.8) на l₃ и вычитая из (3.2.9),

. (3.2.10)

По ранее доказанному (3.2.9) имеет место только при и , откуда и из попарной неравности собственных чисел необходимо . Умножая далее (3.2.8) на любой и вычитая из (3.2.9), аналогично получаем, что другая пара нулевая. Следовательно, , и собственные векторы линейно независимы.

7. Любому собственному числу l_i тензора T с простым спектром соответствует единственное главное направление.

То есть,

: . (3.2.11)

Допустим, что это не так и одному из элементов спектра, скажем l₁, соответствуют два главных направления, то есть кроме соответствующего условия (3.2.11) (i = 1) имеет место равенство , где , . Однако поскольку векторы и из линейно зависимы, то есть существует система чисел , не равных нулю одновременно, что , то, следовательно, найдется система чисел , не равных нулю одновременно, что (например, ). Следовательно, векторы , являющиеся собственными векторами тензора T и соответствующие различным собственным значениям, линейно зависимы, что противоречит ранее доказанной теореме. Поэтому в условиях теоремы каждому собственному значению соответствует единственное главное направление.

8. Пусть теперь два и только два собственных значения тензора T совпадают: l₁ = l₂  º l ¹ l₃. Тогда из

(3.2.12)

следует, что и

, (3.2.13)

то есть кратному собственному значению соответствует характеристическое пространство, одномерное в случае линейной зависимости и , и двумерное в случае их линейной независимости. По одному лишь спектру выяснить размерность этого пространства невозможно, можно лишь сказать, что оно не более чем двумерно. Независимо от размерности этого пространства, характеристическое пространство, соответствующее l₃, одномерно и не принадлежит упомянутому характеристическому пространству, что следует из утверждений пп. 3.2.6-7.

Аналогично можно доказать, что в случае трех совпадающих собственных значений l₁ = l₂  = l₃ характеристическое пространство (единственное) не более чем трехмерно.

Изобразим схематически варианты характеристических пространств, соответствующих простому и кратным спектрам:

Простой спектр

Два совпадающих собственных числа

Три совпадающих собственных числа

Рис. 3.1. Характеристические пространства тензора

9. Приведем примеры тензоров с двумя и только двумя кратными корнями с а) двумерным и б) одномерным характеристическим пространством, соответствующим кратному корню.

А.

.

Характеристическое уравнение (3.2.3) есть , его корни . Собственные векторы, соответствующие , находятся из системы (3.2.4)

откуда , а компоненты и — любые, удовлетворяющие условию нормировки . Итак, существует плоскость собственных векторов, соответствующая корню характеристического уравнения тензора.

Б.

.

Характеристическое уравнение , его корни . Собственные векторы, соответствующие , находим из системы

Система имеет одно (с точностью до знака) нетривиальное решение, а тензор — одно главное направление, соответствующее корню кратности 2.

10. Наряду с собственными векторами тензора T, определяемыми равенствами

, (3.2.14)

, рассмотрим собственные векторы транспонированного тензора , определяемыми равенствами . Поскольку , последние можно переписать в виде

, (3.2.15)

. Характерная структура равенств (3.2.14) и (3.2.15) послужила причиной названия векторов левыми, а — правыми, собственными векторами.

Легко увидеть, что спектр транспонированного тензора совпадает со спектром исходного тензора, т.е.

, (3.2.16)

поскольку коэффициенты характеристических уравнений этих тензоров равны (см. п.2.2.12).

Далее, скалярно умножая (3.2.14) на , а (3.2.15) на , и вычитая результаты друг из друга, получим

. (3.2.17)

Для тензора с простым спектром согласно утверждениям пп.3.2.6-7 нормированные тройки правых и левых собственных векторов будут представлять собой базисы пространства . Из (3.2.17) следует, что эти базисы сопряжены

. (3.2.18)

12. Если тензор T — симметричный, т.е. , то его левые и правые нормированные собственные векторы совпадают

. (3.2.19)

Если, кроме того, спектр T прост, то в силу (3.2.18) и (3.2.19) базис, состоящий из нормированных собственных векторов, ортонормирован.

Более того, для симметричного тензора с любой кратностью спектра его собственные числа действительны и всегда существует тройка ортогональных собственных векторов.

Докажем сначала первое утверждение. Для этого рассмотрим равенства и , предполагая комплексно сопряженными числами. В этом случае определяемые данными равенствами векторы и также будут иметь комплексно сопряженные компоненты. Скалярно умножая первое равенство на , а второе на , и вычитая результаты друг из друга с учетом симметрии тензора, получим

. (3.2.20)

Но поскольку и комплексно сопряжены, и (3.2.20) нарушается. Следовательно, спектр симметричного тензора действителен.

Второе утверждение доказывается с помощью следующей леммы: если симметричный тензор T имеет в собственный вектор t с собственным значением l, и если , то и . Действительно, . Выберем любое собственное значение тензора T, например l₁, которому в силу его действительности соответствует нормированный собственный вектор t₁. Из леммы множество векторов в , ортогональных t₁, обладают свойством, что образ любого из них, например , остается в данной плоскости. Рассмотрим T как линейный оператор, действующий из в , где есть данная плоскость. Поскольку для , то есть T — симметричный, в найдется его главное направление. Применяя лемму, получим, что направление также будет являться главным (поскольку , то есть y принадлежит тому же одномерному пространству, что и x). Таким образом, для произвольного симметричного тензора конструктивно найдены три взаимно ортогональных главных направления.

Пусть теперь симметричный тензор имеет два и только два совпадающих собственных значения l₁ = l₂  ¹ l₃. Симметричный тензор с таким спектром называют осесимметричным. Как показывалось в п.3.2.8 для произвольного тензора, собственному значению l₁ = l₂ соответствует не более чем двумерное пространство собственных векторов. Но по только что доказанному в дополнение к собственному вектору t₃, соответствующему l₃, должны найтись по крайней мере еще два (ортогональных, следовательно, линейно независимых) собственных вектора t₁ и t₂, соответствующих собственным числам l₁, l₂. Т.е. множество собственных векторов, соответствующих корню характеристического уравнения второй кратности для симметричного тензора, образует двумерное пространство. Поскольку собственный вектор t₃, соответствующий l₃, должен быть ортогонален t₁ и t₂, то он ортогонален данной плоскости.

Аналогичным образом доказывается, что для симметричного тензора с l₁ = l₂  = l₃, являющегося шаровым, множество собственных векторов образует трехмерное пространство. Возможные варианты строения характеристических пространств симметричного тензора изображены на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Характеристические пространства симметричного тензора

13. Поскольку спектр антисимметричного тензора имеет только один действительный элемент, то и характеристическое пространство этот тензор имеет одно (одномерное).