- •«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»
- •«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»
- •Умножение векторов
- •Переход к новому базису
- •Решение типовых задач
- •Решение. Объём пирамиды найдем, исходя из геометрического свойства
- •Элементы аналитической геометрии
- •Плоскость и прямая в пространстве Рассмотрим геометрические объекты, которые описываются линейными алгебраическими уравнениями.
- •Решение типовых задач
- •Прямая на плоскости
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Решение типовых задач
- •Решение типовых задач
Решение типовых задач
Пример. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек и равен 4.
Решение. Пусть произвольная (текущая) точка искомой кривой. Запишем аналитически (в виде формулы) то свойство, которому должны удовлетворять координаты любой точки кривой. Найдем расстояние от точки до заданных точек и : ; . Согласно условию задачи или
.
Упростим это равенство, выполняя следующие операции: ; ; ; ; .
Окончательно получим уравнение кривой , известное из школьного курса как уравнение гиперболы, для которой оси координат являются асимптотами.
Пример. Даны точка и прямая . В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка которой:
а) в раза ближе к точке , чем к данной прямой;
б) в раза дальше от точки , чем от данной прямой;
в) равноудалена от точки и прямой .
Решение: а) Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Ее координаты . Тогда согласно условия через координаты точек это равенство запишется в виде
.
Произведем упрощение полученного равенства:
;
; ;
;
;
.
Следовательно, искомая линия - эллипс. Точка совпадает с его правым фокусом, а прямая – правая директриса.
б) Согласно условию задачи . Следовательно, ;
;
;
;
,
т.е. данная линия – гипербола, для которой точка является левым фокусом, а прямая - левой директрисой.
в) По условию . Следовательно,
;
,
.
Получили уравнение параболы с фокусом в точке и директрисой .
Пример. Составить канонические уравнения:
а) эллипса, расстояние между фокусами которого , а точка лежит на кривой;
б) гиперболы с действительной полуосью равной 8 и эксцентриситетом ;
в) параболы, имеющей директрису .
Решение. а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи . Для эллипса выполняется равенство , откуда . Точка лежит на кривой, поэтому должно выполняться равенство .
Значения полуосей эллипса находим из системы уравнений Эта система преобразуется к виду
Из первого уравнения имеем . Исключим из второго уравнения: , , . Тогда . Окончательно имеем .
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию действительная полуось . Для гиперболы справедливо равенство , или . В свою очередь . Если учесть, что , то .
На основании предыдущего равенства получим . Искомое каноническое уравнение гиперболы имеет вид .
в) В рассматриваемом случае каноническое уравнение параболы должно иметь вид , а уравнение ее директрисы . Согласно условию уравнение директрисы , поэтому , откуда . Искомое каноническое уравнение параболы запишется в виде .