- •«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»
- •«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»
- •Умножение векторов
- •Переход к новому базису
- •Решение типовых задач
- •Решение. Объём пирамиды найдем, исходя из геометрического свойства
- •Элементы аналитической геометрии
- •Плоскость и прямая в пространстве Рассмотрим геометрические объекты, которые описываются линейными алгебраическими уравнениями.
- •Решение типовых задач
- •Прямая на плоскости
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Решение типовых задач
- •Решение типовых задач
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Методические указания
к выполнению индивидуальных заданий
по теме:
«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»
Волгодонск
2010
Элементы векторной алгебры
Векторы и линейные операции над ними
В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальной А и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка и , имеющие равные длины и одно и то же направление, определяют (изображают) один и тот же вектор , и пишут .
Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Если вектор изображается направленным отрезком , то вектор, изображаемый направленным отрезком , называется вектором, противоположным вектору и обозначается - .
Для векторов вводятся операции сложения и вычитания. При этом заметим, что знаки «+» и «», которые ставятся между векторами, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое, а геометрическое сложение векторов по правилу треугольника или параллелограмма.
Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .
Сложение векторов и умножение их на число называются линейными операциями над векторами. Эти операции обладают свойствами по форме аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.
Осью называется прямая l, положительное направление которой задается единичным вектором . Пусть - произвольный вектор, а А1, В1 ортогональные проекции точек А и В на ось l.
B
A
A1
l0
B1
l
Рис.1
Проекцией (или компонентой) вектора на ось l называется направленный отрезок на оси, началом которого служит проекция начала вектора , а концом - проекция конца этого вектора (рис.1). Очевидно, что компонента и вектор коллинеарны. Значит существует число (обозначим его ), такое, что . Число называется величиной проекции или координатой вектора на ось l и обозначается или . Координата численно равна модулю компоненты , взятой со знаком «+», если и со знаком «», если . Справедливо равенство . Часто именно это число называют проекцией вектора на ось l.
Пусть - векторы, а - действительные числа.
Вектор называется линейной комбинацией векторов .
Например, вектор является линейной комбинацией векторов .
Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. В нашем примере вектор разложен по векторам .
Система n векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от нуля. Иными словами, векторы называются линейно независимыми, если равенство возможно лишь тогда, когда все . В противном случае система векторов линейно зависимая.
Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для трех векторов – их компланарность.
Если мы имеем два неколлинеарных вектора и , то всякий третий компланарный им вектор может быть единственным способом разложен по векторам и , т.е. представлен как сумма двух векторов, соответственно им компланарных: .
Если мы имеем три некомпланарных вектора , и , то всякий четвертый вектор может быть однозначно разложен по векторам , и , т.е. представлен как сумма трех векторов соответственно им коллинеарных: . Между четырьмя векторами существует линейная зависимость: , где не равны нулю одновременно.
Система n линейно независимых векторов в n -мерном пространстве называется базисом этого пространства.
На плоскости два неколлинеарных вектора , а в пространстве тройка некомпланарных векторов , взятых в определенном порядке, образуют базис.
Базис называется ортонормированным, если векторы взаимно перпендикулярные и единичные. Этот базис часто используется на практике и имеет специальное обозначение .
Говорят, что в пространстве задана прямоугольная (декартовая) система координат, если в этом пространстве указан ортонормированный базис и фиксированная точка О (начало координат), являющаяся общим началом базисных векторов. Векторы определяют положительное направление трех координатных осей: Оx (оси абсцисс), Oy (оси ординат) и Oz (оси аппликат), соответственно.
В пространственной прямоугольной системе координат вектор может быть представлен следующим образом: , где - координаты вектора относительно базиса , которые совпадают с проекциями вектора на соответствующие оси. Это векторное равенство часто записывают в символической форме: .
Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и , то координаты вектора находятся как разности
соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.
,
а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:
.
Если учесть при этом, что , то выражение для модуля вектора можно записать так: .
Пусть углы вектора с осями Ox, Oy, Oz соответственно равны .
Направляющие косинусы вектора определяются по формулам: ; ; .
Эти числа являются координатами орта , т.е. , и связаны равенством .
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами и , выполняются по следующим правилам:
1) при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются: ;
2) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: .
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т.е. .
Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны.
Итак, если , то или .