- •Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования
- •Содержание
- •2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20
- •Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •1 Математические модели физических систем
- •1.1 Физические системы и методы их исследования
- •Основные определения и понятия
- •Системы деформируемых твёрдых тел
- •1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел
- •1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел
- •Разностные схемы для основных уравнений математической физики
- •1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация
- •1.2.2 Разностная аппроксимация основных производных. По определению производная функции одной переменной записывается в виде
- •Это значит, что аппроксимация
- •Общий принцип метода сеток
- •Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
- •2 Разностные методы решения задач математической физики
- •2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений
- •2.1.2 О задаче Дирихле
- •2.1.3 Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа
- •2.1.4 Разностная аппроксимация граничных условий
- •2.2 Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле для
- •2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
- •2.2.2 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
- •2.3. Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге
- •2.4. Разностные схемы для линейных дифференциальных
- •2.5. Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Общая постановка задачи.
- •3. Метод конечных элементов и суперэлементов
- •3.1. Физические предпосылки методов
- •3.2 Деформации твёрдых тел
- •3. 2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.2.2. Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел
- •3.3. Прикладные вопросы метода конечных элементов
- •3.3.1. Основная концепция метода конечных элементов
- •3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области
- •3.3.3. Метод конечных элементов в теории упругости.
- •3..4 Построение конечно - элементных соотношений
- •3.5. Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования
- •Свойства матрицы жёсткости
- •3.7 Аналитический алгоритм метода суперэлементов
- •Методы исследования нелинейных математических
- •4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных
- •4.2 Итерационные численные методы
- •4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем
- •4.4 Сравнительный анализ эффективности методов исследования
- •5 Основы методологии компьютерного объектно-
- •5.1 Основные понятия и определения
- •5.2 Построение виртуальной физической модели системы
- •5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании
- •5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве отдельных
- •6 Технология компьютерного объектно-
- •6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного
- •6.2 Интерфейс визуального ввода данных
- •7 Программное обеспечение компьютерного
- •7.1 Структура программного обеспечения объектно-ориентированного моделирования системы деформируемых твёрдых тел
- •7.2 Технология объектно-ориентированного программирования
- •Объектно-ориентированного моделирования физической системы
- •7.3 Программный комплекс «Энергия - 2д » моделирования
- •7.4 Программный комплекс «Энергия - ос » моделирования
- •7.5 Программный комплекс «Энергия - 3д » моделирования
- •8 Верификация технологии и программного
- •8.1 Методологические аспекты верификации
- •8.2 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.3 Верификация технологии и программного обеспечения
- •8.4 Верификация технологии и программного обеспечения
- •Численные методы математической физики
- •1. Метод сеток для задачи дирихле
- •1.1. Основы метода сеток
- •1.3.Варианты задания
- •Лабораторная работа №2
- •Дополнение к лабораторной работе №2
- •Лабораторная работа №3 Метод сеток для уравнения параболического типа.
- •Лабораторная работа №4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет Кафедра вычислительной математики и программирования
на правах рукописи
Б Ы Х О В Ц Е В В. Е.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Курс лекций
для студентов специальности Н.08.01.00 –«Прикладная математика»
Гомель – 2011
Содержание
1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ……………………….4
1.1 Физические системы и методы их исследования …………………………………….4
Основные определения и понятия……………………………………………………..4
1.1.2 Системы деформируемых твёрдых тел………………………………………………..5
1.1.3 Подходы к исследованию систем деформируемых твёрдых тел……………………7
1.1.4 Средства исследования состояния систем деформируемых твёрдых тел……...….12
1.2 Разностные схемы для основных уравнений математической физики…………….15
1.2.1 Основные уравнения математической физики и их классификация…….................15
Разностная аппроксимация основных производных….............................................15
Общий принцип метода сеток…………………..……………………………………17
Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем…...........................18
2 Разностные методы решения задач математической физики….…..20
2.1 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
эллиптического типа …………………………………………………………………20
2.1.1 Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений
эллиптического типа………………………………………………………………….20
О задаче Дирихле…………………..............................................................................20
Разностные аппроксимации уравнений эллиптического типа…………………….22
Разностная аппроксимация граничных условий………………...............................23
Построение разностной аппроксимации задачи Дирихле
для уравнения Пуассона……………………………………………………………..24
2.2.1 Разностная схема задачи Дирихле для уравнения Пуассона……………………...24
Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
для уравнения Пуассона. Принцип максимума …………………………………….24
2.3 Разрешимость разностных уравнений и способы их решения. Правило Рунге….25
2.4 Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
параболического типа. Решение задачи Коши ….....................................................26
Разностные схемы для линейных дифференциальных уравнений
гиперболического типа……………….........................................................................28
Общая постановка задачи…………………………………………………………….28
Решение задачи Коши……………………………………...........................................29
3 МЕТОДЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ………………...30
3.1 Физические предпосылки метода конечных элементов…………………………….30
3.2 Деформации твёрдых тел………………………...........................................................30
3.2.1 Линейно-упругие деформации твёрдых тел…………………………………………30
3.2.2 Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел………………………………………33
3.3 Прикладные вопросы метода конечных элементов…………………………………35
3.3.1 Основная концепция метода конечных элементов………………………………….35
3.3.2 Дискретизация и оптимальная нумерация узлов области…………….................................35
3.3.3 Метод конечных элементов в теории упругости……………………………………………36
3.4 Построение конечно - элементных соотношений
для плоской задачи линейной теории упругости…………………………………………...37
3.5 Аналитический алгоритм метода конечных элементов для исследования
состояния пространственных систем линейной теории упругости………………..40
Свойства матрицы жёсткости…………........................................................................44
Аналитический алгоритм метода суперэлементов…………………………………..45
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЁРДЫХ ТЕЛ И ИХ СИСТЕМ …..............................48
4.1 Общие предпосылки методов численного исследования нелинейных
математических моделей деформируемых твёрдых тел и их систем………………48
4.2 Итерационные численные методы…………………………………………………….49
4.3 Безитерационные методы исследования нелинейных математических моделей
деформируемых твёрдых тел и их систем……………………………………………50
Сравнительный анализ эффективности методов исследования нелинейных
математических моделей систем деформируемых твёрдых тел. . .…………………52
5 ОСНОВЫ МЕТОДОЛОГИИ КОМПЬЮТЕРНОГО ОБЪЕКТНО-
ОРИЕНТИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ТВЁРДЫХ ТЕЛ…………………………………………54
5.1 Основные понятия и определения……………………………………………………..54
5.2 Построение виртуальной физической модели системы……………………………...54
5.3 Исходные данные при компьютерном моделировании систем механики грунтов...55
5.4 Деформации грунтовых оснований при устройстве фундаментов………………….56
6 ТЕХНОЛОГИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЁРДЫХ ТЕЛ………………….63
6.1 Технологические этапы компьютерного объектно-ориентированного
моделирования систем деформируемых твёрдых тел………………………………...63
6.2 Интерфейс визуального ввода данных…………………………………………….......63
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО ОБЪЕКТНО-
ОРИЕНТИРОВАННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И ОСАДОК
СТРОИТЕЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ КАК ТРЁХМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ ТВЁРДЫХ ТЕЛ……………………………………………………………...67
Структура программного обеспечения объектно-ориентированного
моделирования системы деформируемых твёрдых тел………………………………67
7.2 Технология объектно-ориентированного программирования………………………..67
7.3 Программный комплекс «Энергия - 2Д » моделирования
двумерных систем механики грунтов………………………………………………....70
7.4 Программный комплекс «Энергия - ОС » моделирования
осесимметричных задач механики грунтов…………………………………………..74
7.5 Программный комплекс «Энергия - 3Д » моделирования
систем механики грунтов в трёхмерном пространстве………………………………78
8 ВЕРИФИКАЦИЯ ТЕХНОЛОГИИ И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ТВЁРДЫХ ТЕЛ….……….82
8.1 Методологические аспекты верификации…………………………………………...82
8.2 Верификация технологии и программного обеспечения
моделирования двумерных систем механики грунтов……………………………...82
8.3 Верификация технологии и программного обеспечения
моделирования осесимметричных задач механики грунтов………………………..87
8.4 Верификация технологии и программного обеспечения
моделирования систем механики грунтов в трёхмерном пространстве…………...89
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ………………………………….92
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ……………………………….………………………....93