Численные методы математической физики
Лабораторная работа №1
1. Метод сеток для задачи дирихле
1.1. Основы метода сеток
Основой метода сеток (метода конечных разностей) является идея замены дифференциальных операторов конечно-разностными отношениями (операторами). Пусть в плоскости хОу имеется некоторая область G с границей Г, (рис.1).
Построим на плоскости два семейства параллельных прямых:
х = х0 + ih (i = 0, ± 1, ±2,...), у=у0 +kl (k = 0, ± 1, ±2, ...)
у
Рис.1
Точки пересечения этих прямых назовем узлами. Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ох или Оу на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно. Выделим узлы, принадлежащие области G+Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии, меньшем чем шаг, от границы Г. Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А, рис. 1). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными (узлы В, С, рис. 1).
Значения искомой функции u = u(х, у) в узлах сетки будем обозначать через
uik = u(x0 + ih, y0 + kl). В каждом внутреннем узле (x0 + ih, y0 + kl) заменим
частные производные разностными отношениями:
, ;
в граничных точках получаются менее точные формулы:
, .
Частные производные второго порядка заменяются конечно-разностными отношениями следующим образом:
, .
1.2. Разностные отношения для задачи Дирихле.
Рассмотрим краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона
(1)
Необходимо найти функцию u=u(x,y), удовлетворяющую внутри некоторой области G уравнению (1), а на границе Г – условию
(2)
где - заданная непрерывная функция.
Согласно вышеизложенному будем иметь
, (3)
где
Уравнения (3) вместе со значениями uik в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функции u(x,y) в узлах (xi,yk). Наиболее простой вид эта система имеет для прямоугольной области и для l = h. В этом случае уравнения (3) записываются следующим образом:
ui+1,k + ui-1,k + ui,r+1 +ui,k-1 - 4uik =h2fik , (4)
а значения в граничных узлах в точности равны значениям граничной функции. При
f(x,y) = 0 уравнение (1) называется уравнением Лапласа и соответствующие конечно-разностные уравнения имеют вид
(5)
П
(i+1,k+1)
( xi , yk) обозначается через (i , k). Иногда бывает удобнее использовать схему узлов, указанную на рис. 3.
(i-1,k+1)
(i,k)
(i,k)
(i-1,k-1)
(i+1,k-1)
Рис.2 Рис.3
В этом случае уравнению Лапласа соответствуют следующие конечно-разностные уравнения:
, (6)
а для уравнения Пуассона будем иметь
.
Погрешность замены дифференциального уравнения разностным, т.е. остаточный член Rik для уравнения Лапласа, оценивается неравенством
где .
Погрешность приближенного решения, полученного разностным методом, складывается из трех погрешностей:
Погрешности замены дифференциального уравнения разностным;
Погрешности аппроксимации краевых условий;
Погрешности, получаемой в результате того, что система разностных уравнений решается приближенным методом.
ПРИМЕР.
Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в плоской квадратной изолированной пластинке со стороной 1, если на границе пластинки поддерживается постоянная температура.
Известно, что функция u(x,y) , дающая распределение температуры, является решением уравнения Лапласа
при краевых условиях, изображенных на рис.4.
РЕШЕНИЕ.
Строим сетку с шагом h=1/4. Получим девять внутренних узлов (рис.4). Записываем в этих узлах конечно-разностные уравнения.
В силу симметрии граничных условий имеем
u11 = u31, u12 = u32, u13 =u33. (7
Э
5000
10000 0
10000
10000
5000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(1.3)
(2,3)
(3,3)
Рис.4
(1,1)
(2,1)
(3,1)
конечно-разностные уравнения писать не нужно. В остальных шести внутренних узлах (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3) получаем соответственно шесть уравнений:
(8)
В эти уравнения входят еще 12 значений функции в граничных точках. Эти значения мы берем из краевых условий.
(9)
Заметим, что в остальных узлах краевые условия не используются.
Окончательно, учитывая условия (7), (9), получаем систему
Решив эту систему методом Гаусса, получим
u11 = 714, u21 = 982, u12 = 1875, u22 =2500, u13 = 4286, u23 = 5268.