- •Раздел 8. Функции многих переменных. §. Воспоминания о будущем.
- •§. Определение функции многих переменных.
- •§. Повторные пределы (на примере функций двух переменных).
- •§. Непрерывные функции.
- •§. Функции непрерывные в области.
- •§. Равномерная непрерывность функции на множестве.
- •§. Компактные множества в Еn.
Раздел 8. Функции многих переменных. §. Воспоминания о будущем.
Пусть Vn – линейное пространство.
Def.: В множестве R введено скалярное произведение, если такое, что: ; ;
; .
Если в линейном пространстве Vn введено скалярное произведение, то пространство называется евклидовым пространством (в дальнейшем евклидово пространство, зачастую, будет обозначаться .
Def.: В множестве R введена норма, если , такое, что:
; ; .
Линейное пространство Vn, в котором введена норма называется нормированным пространством.
Def. В множестве R введена метрика, если такое, что
; ; .
Если в множестве R введена метрика, то R называется метрическим пространством.
Если в пространстве Vn введено скалярное произведение (Vn –евклидово пространство En), то в нем можно естественным образом ввести норму и метрику .
Говорят что, норма и метрика индуцируются скалярным произведением.
Пусть En – евклидово пространство с индуцированными нормой и метрикой, и – ортонормированный базис в En.
Тогда: .
Def: открытый шар.
замкнутый шар.
сфера
открытый параллелепипед
замкнутый параллелепипед.
Def: – ε - окрестность точки х0.
– проколотая ε - окрестности точки х0.
– прямоугольная окрестность точки х0.
проколотая прямоугольная ε - окрестность.
F
Факт этот свидетельствует о том что, топологии введенные с помощью прямоугольных и сферических окрестностей эквивалентны.
Аксиома полуотделимости: Из любых двух точек евклидового пространства каждая имеет окрестность, не содержащая другую точку.
Аксиома отделимости: Для любой пары точек евклидового пространства существуют их непересекающиеся окрестности.
Def: Точка Р(х1, ….,хn) называется внутренней точкой множества М, если .
Def: Точка Р называется граничной точкой множества М, если
.
Def: Точка Р называется предельной точкой множества М (или точкой сгущения), если
.
Def: Множество М называется открытым, если все его точки внутренние.
Def: Множество М называется ограниченным, если .
Def: Если , то говорят, что в множестве М задана кривая. Кривая L: называется непрерывной, если - непрерывные функции.
D
Def: Множество М называется односвязным, если любой замкнутый контур в множестве М можно непрерывным движением стянуть в точку принадлежащую множеству М.
Пример: область определения функции – круг радиуса 2 с центром в начале координат – связна, а область определения функции – концентрические кольца (см. рис.) –не связна:
.
Def: Последовательность точек евклидового пространства называется сходящейся, к элементу пространства Р , если .
Тº. Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы последовательности координат сходились к соответствующей координате т. Р.
Δ 1) Пусть , т.е.
.
2) Пусть последовательность , тогда , и значит ▲
Def: Последовательность точек евклидового пространства называется фундаментальной, если .
Тº. Для того, чтобы последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Δ. Доказательство основано на переходе к покоординатной сходимости и ссылке на то, что для числовых последовательностей этот факт доказан. ▲
Тº. (Больцано - Вейерштрасса) Из любой бесконечной ограниченной последовательности точек евклидового пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Δ Задана бесконечная, ограниченная последовательность , такая, что . Рассмотрим последовательность первых координат элементов
этой последовательности . Это бесконечная и ограниченная числовая последовательность и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Тем самым, из последовательности выделена подпоследовательность , у которой последовательность первых координат сходится. Обозначим элементы этой последовательности вновь .
Далее рассмотрим последовательность вторых координат элементов этой последовательности , и проведем ту же процедуру. … Проделав эту процедуру m раз (m – размерность евклидового пространства), в конце концов, получим последовательность с покоординатной сходимостью. Следовательно, построенная последовательность сходится. ▲