Раздел 1. ОпределЕнный интеграл § Основная задача интегрального исчисления – нахождение площади криволинейной трапеции

П

остановка задачи: Найти площадь фигуры, ограниченной снизу замкнутым промежутком оси абсцисс I = [a,b] (y= 0), слева – вертикальной прямой x = a , справа – вертикальной прямой x= b и сверху – дугой графика функции y = f (x). Такая фигура называется криволинейной трапецией опирающейся на промежуток I .

Несколько слов о понятии площади. Студенты с большим трудом и невнятно формулируют понятие площади. И не мудрено. В программе школьного образования не формулируется понятие площади, и оно остается чисто интуитивным. На самом деле площадь это некоторая функция , заданная на геометрических объектах и такая, что 1) и 2) .

Теперь займемся решением поставленной задачи. Для этого поступим следующим образом:

А. Разобьём промежуток I на n частей, не обязательно равных по длине, точками :

, и обозначим

– промежутки разбиения. Величину назовем диаметром промежутка разбиения, а величину – мерой промежутка разбиения.

При этом: и

. Для интервала понятие меры и диаметра не отличаются. Для произвольного множества самое большое из расстояний между элементами множеств, конечно, не всегда не совпадает с суммарной длиной интервалов, его составляющих.

Пусть – внутренность промежутка разбиения: =( ) т.е. . При этом говорят: Задано разбиение Р = промежутка I = [a, b], а величина называется параметром разбиения Р.

Б. Теперь для каждого выберем точки т.е. .

П

олучаем разбиение с отмеченными точками.

В. Построим сумму площадей образовавшихся прямоугольников: , и перейдем к пределу при параметре разбиения, стремящемся к нулю. Если такой предел существует, то он называется определенным интегралом от функции по промежутку и для неотрицательной функции является площадью криволинейной трапеции

.

Если функция является знакопеременной то определенный интеграл это, вообще говоря, не площадь а ориентированная площадь, когда считается, что фигуры лежащие выше оси абсцисс имеют положительную площадь, а фигуры лежащие ниже оси абсцисс имеют отрицательную площадь.

§ Свойства разбиений

Говорят, что разбиение Р мельче чем разбиение (или крупнее Р), (или Р следует за ) и записывают , если все точки разбиения содержатся среди точек разбиения Р. Отметим три важных свойства отношения «крупнее – мельче» для разбиений:

а) существуют разбиения со сколь угодным малым параметром:

I = [a, b]. Выбирая ; k = 0,1,2,…,n. Тогда и выбирая достаточно большим, можно сделать параметр разбиения сколь угодно малым.

б) для двух любых разбиений существует третье разбиение, следующее за любым из них:

с) транзитивность отношения «крупнее – мельче»:

и, что то же самое P₁  P₂  P₂  P₃  P₁  P₃.

§ Определение определённого интеграла на языке . Предел по базе

Def: Величина I (f ) называется определённым интегралом от функции f на промежутке [a, b] D(f ), если: .

Def: Если в множестве X задана система B подмножеств B множества X такая, что:

а) BB B  ; б) B₁, B₂B B₃B B₃  B₁∩B₂,

то говорят, что в множестве X задана база.

Примеры.

1˚. Множество открытых окрестностей точки а образуют базу. Обозначим эту базу P .

2˚. Множество открытых проколотых окрестностей точки а образуют базу (P ).

3˚. Множество открытых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P ).

4˚. Множество открытых проколотых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P ).

5˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] образуют базу (P )..

6˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с параметром разбиения _P <  образуют базу.

7˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками образуют базу.

6˚. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками с параметром разбиения _P <  образуют базу. Последние три базы обозначают базу P или .

Def: . Пределом функции f (x) по базе B называется число А, такое, что:

. и тогда определение определенного интеграла может быть записано через предел по базе разбиений с отмеченными точками с параметром разбиения _P < : .