3.5.2. Пример решения задачи на сложное сопротивление
Задача: стальной вал круглого поперечного сечения из стали 30ХГСА с установленными на нем зубчатыми колесами вращается с постоянным числом оборотов nв =210 об/мин и передает мощность Nв=12,1 кВт. Расчетная схема вала представлена на рис.16.
Исходные данные к задаче: D1=0,4м, D2=0,2м, а=с=0,08 м, в=0,1м.
Требуется: подобрать величину диаметра d вала по условиям прочности, приняв коэффициент запаса прочности по пределу текучести ns =5.
Решение:
1. Определение внешних нагрузок, действующих на вал
Момент
на валу –
.
Окружные
силы: –
,
.
Осевая
сила –
.
Радиальные
силы:
,
.
В результате приведения сил к оси вала имеем (рис.17):
в
сечении
Б крутящий
момент –
,
поперечные силы FZ1=
0,825 кН∙м
(от переноса окружной
силы F1);
FY1=
2,75 кН∙м
(от переноса радиальной
силы R1);
в
сечении
В крутящий
момент –
,
поперечные силы FZ2=
1,65 кН∙м
(от переноса окружной
силы F2);
FY2=
5,5 кН∙м
(от переноса радиальной
силы R2);
изгибающий момент MY2
=
A2
∙D2/2
= 0,11
кН∙м
(от
переноса осевой
силы A2).
2. Определение опорных реакций
Для определения вертикальных составляющих опорных реакций (рис.17.а) составим уравнения равновесия — суммы моментов всех сил относительно осей, параллельных оси Y и проходящих через опоры А и Г вала:
;
;
;
.
Отрицательное значение опорной реакции ZА свидетельствует о том, что ее направление следует поменять на противоположное (на рис.17.а действительное направление ZА показано штриховой линией).
Проверим правильность нахождения реакций ZА и ZГ для чего составим третье уравнение равновесия – сумму проекций всех сил на вертикальную ось Z:
=0.
Следовательно, реакции найдены правильно.
Для определения горизонтальных составляющих опорных реакций (рис.17.в). Составим уравнения моментов всех сил относительно осей, параллельных оси Z и проходящих через опоры А и Г вала:
;
;
;
.
Проверим правильность нахождения реакций YА и YГ для чего составим третье уравнение равновесия — сумму проекций всех сил на вертикальную ось Y:
.
Следовательно, реакции найдены правильно.
Осевые нагрузки (рис.16), действующие вдоль оси X, воспринимаются только радиально-упорным подшипником (в нашем случае правой опорой Г). Их можно определить из уравнения равновесия — суммы проекций всех сил на ось X:
.
3. Построение эпюр крутящих и изгибающих моментов M
Построение эпюр изгибающих моментов в вертикальной плоскости XAZ. Находим значения МY в сечениях вала, соответствующих границам участков I - АБ , II - БВ , III- ГВ согласно расчетной схеме на рис.17.а
Для участка I – АБ (сечения 0 ≤х1≤а)
Для участка II – БВ (сечения 0 ≤х2≤b)
Для участка III- ГВ (сечения 0 ≤х3≤c)
.
По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов МY (рис.17.б).
Построение эпюр изгибающих моментов в горизонтальной плоскости XAY. Находим значения МZ в сечениях вала, соответствующих границам участков I - АБ , II - БВ , III- ГВ согласно расчетной схеме на рис.17.в
Для участка I – АБ (сечения 0 ≤х1≤а)
Для участка II – БВ (сечения 0 ≤х2≤b)
Для участка III- ГВ (сечения 0 ≤х3≤c)
.
По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов МZ (рис.17.г).
Построение эпюр крутящих моментов (рис.17.д):
.
Строим эпюру крутящих моментов MX = МК (рис.17.е).
4. Определение диаметра вала
Из
анализа эпюр внутренних сил (см. рис.17)
следует, что опасным является сечение
в точке В,
где действуют наибольшие изгибающие
моменты
и крутящий момент
.
Эквивалентный момент
.
Определяем
допускаемое напряжение
.
Здесь принят коэффициент запаса прочности по пределу текучести ns =5, а предел текучести стали 30ХГСА согласно приложению П.1. - sТ = 850 МПа.
Диаметр вала вычисляется по формуле
.
Полученное
значение диаметра
округляем до ближайшего значения по
ГОСТ 6636–69*(приложение
П.3). Тогда, принимаем d=34
мм.
Перегрузка
вала составляет
,
что находится в допустимых пределах ≤
5%.
Рис.17.
