3) Построить и решить двойственную задачу линейного программирования.
В сформулированной задаче неравенство эквивалентно неравенству , а равенство можно представить как два неравенства и . Таким образом, рассматриваемую задачу линейного программирования можно представить в виде:
При ограничениях:
Поэтому двойственная задача имеет следующий вид:
При ограничениях:
Решим задачу с помощью Microsoft Excel.
Заносим имеющиеся данные в таблицу.
наименование |
Z1 |
Z2 |
Z3 |
Z4 |
Z5 |
|
|
|
|||
коэф. Целев. Функции |
850 |
1200 |
2100 |
5800 |
5800 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ограничение |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
левая часть |
знак |
правая часть |
|||
коэф. В 1 огран |
-3,4 |
2,1 |
6,4 |
25 |
-25 |
|
<= |
1,5 |
|||
коэф. В 2 огран |
-5 |
5,2 |
8,5 |
37 |
-37 |
|
>= |
3 |
|||
коэф. В 3 огран |
-3,8 |
5,1 |
8,4 |
23 |
-23 |
|
>= |
5,4 |
|||
коэф. В 4 огран |
-2,6 |
2,8 |
10 |
22 |
-22 |
|
>= |
0,8 |
|||
Коэф. В 5 |
-2,3 |
3 |
6,1 |
20 |
-20 |
|
>= |
1,2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Z1 |
Z2 |
Z3 |
Z4 |
Z5 |
целевая функция |
|
||||
оптимальные значения |
|
|
|
|
|
|
min |
|
Решение двойственной задачи выглядит следующим образом:
Переменные |
|
|
|
|||||||||||
наименование |
Z1 |
Z2 |
Z3 |
Z4 |
Z5 |
|
|
|
||||||
коэф. Целев. Функции |
850 |
1200 |
2100 |
5800 |
5800 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ограничение |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
левая часть |
знак |
правая часть |
||||||
коэф. В 1 огран |
-3,4 |
2,1 |
6,4 |
25 |
-25 |
1,49 |
<= |
1,5 |
||||||
коэф. В 2 огран |
-5 |
5,2 |
8,5 |
37 |
-37 |
3 |
>= |
3 |
||||||
коэф. В 3 огран |
-3,8 |
5,1 |
8,4 |
23 |
-23 |
6,54 |
>= |
5,4 |
||||||
коэф. В 4 огран |
-2,6 |
2,8 |
10 |
22 |
-22 |
6,48 |
>= |
0,8 |
||||||
Коэф. В 5 |
-2,3 |
3 |
6,1 |
20 |
-20 |
3,28 |
>= |
1,2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z1 |
Z2 |
Z3 |
Z4 |
Z5 |
целевая функция |
|
|||||||
оптимальные значения |
0 |
1 |
1 |
13448 |
13448 |
156001450 |
min |
|
Задание 2. Многокритериальная оптимизация. Аналитический иерархический процесс (АИП)
Несколько страховых компаний предлагают свои услуги автострахования. Используя метод АИП, необходимо выбрать страховую компанию. Предлагается четыре компании: МАКС (К1), Спасские ворота (К»), Ингосстрах (К3) и РОСНО (К4). Факторами, влияющими на решение, являются: стоимость страхования ущерба (С1), стоимость гражданской ответственности (С2), своевременность расчетов с клиентами (Р). Приведенный анализ дал следующие матрицы сравнения.
А= |
С1 |
С2 |
Р |
С1 |
1 |
3 |
4 |
С2 |
1/3 |
1 |
3 |
Р |
1/4 |
1/3 |
1 |
АС1= |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К1 |
1 |
4 |
1/2 |
3 |
К2 |
1/4 |
1 |
1/3 |
¼ |
К3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
К4 |
1/3 |
4 |
1/3 |
1 |
АС2= |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К1 |
1 |
1 |
¼ |
3 |
К2 |
1 |
1 |
1/4 |
3 |
К3 |
4 |
4 |
1 |
5 |
К4 |
1/3 |
1/3 |
1/5 |
1 |
АС3= |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К1 |
1 |
1/5 |
1/5 |
1/4 |
К2 |
5 |
1 |
1 |
2 |
К3 |
5 |
1 |
1 |
2 |
К4 |
4 |
1/2 |
1/25 |
1 |
Оцените согласованность матриц и определите страховую компанию, которую следует выбрать.
Проведем сравнение по показателю стоимости страхования ущерба (С1). Далее представлена нормализованная матрица сравнения компаний по показателю С1.
АС1= |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
|
К1 |
1,00 |
4,00 |
0,50 |
3,00 |
|
К2 |
0,25 |
1,00 |
0,33 |
0,25 |
|
К3 |
2,00 |
3,00 |
1,00 |
3,00 |
|
К4 |
0,33 |
4,00 |
0,33 |
1,00 |
|
|
|
|
|
|
|
сумма |
3,58 |
12,00 |
2,16 |
7,25 |
|
|
|
|
|
|
|
нормализация |
|
|
|
|
|
|
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
среднее |
К1 |
0,279 |
0,333 |
0,231 |
0,414 |
0,314 |
К2 |
0,070 |
0,083 |
0,153 |
0,034 |
0,085 |
К3 |
0,559 |
0,250 |
0,463 |
0,414 |
0,421 |
К4 |
0,092 |
0,333 |
0,153 |
0,138 |
0,179 |
Далее необходимо рассчитать коэффициент согласованности:
|
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
среднее |
мера согласованности |
К1 |
0,279 |
0,333 |
0,231 |
0,414 |
0,314 |
4,460 |
К2 |
0,070 |
0,083 |
0,153 |
0,034 |
0,085 |
4,084 |
К3 |
0,559 |
0,250 |
0,463 |
0,414 |
0,421 |
4,374 |
К4 |
0,092 |
0,333 |
0,153 |
0,138 |
0,179 |
4,257 |
|
|
|
|
|
ИС |
0,098 |
|
|
|
|
|
ИР |
0,9 |
|
|
|
|
|
Коэф. согласованности |
0,109 |
Следовательно, для стоимости страхования ущерба коэффициент согласованности равен 0,109.
Аналогично проведем оценку по показателю страхования гражданской ответственности (С2).
Решение будет иметь вид:
АС2= |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
|
|
К1 |
1,00 |
1,00 |
0,25 |
3,00 |
|
|
К2 |
1,00 |
1,00 |
0,25 |
3,00 |
|
|
К3 |
4,00 |
4,00 |
1,00 |
5,00 |
|
|
К4 |
0,33 |
0,33 |
0,20 |
1,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма |
6,33 |
6,33 |
1,70 |
12,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормализация |
|
|
|
|
|
|
|
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
среднее |
мера согласованности |
К1 |
0,158 |
0,158 |
0,147 |
0,250 |
0,178 |
4,080 |
К2 |
0,158 |
0,158 |
0,147 |
0,250 |
0,178 |
4,080 |
К3 |
0,632 |
0,632 |
0,588 |
0,417 |
0,567 |
4,187 |
К4 |
0,052 |
0,052 |
0,118 |
0,083 |
0,076 |
4,028 |
|
|
|
|
|
ИС |
0,031 |
|
|
|
|
|
ИР |
0,9 |
|
|
|
|
|
Коэф. согласованности |
0,035 |
Следовательно, коэффициент согласованности равен 0,035.
Оценим компании по своевременности расчетов с клиентами (Р):
Ар= |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
|
|
К1 |
1,00 |
0,20 |
0,20 |
0,25 |
|
|
К2 |
5,00 |
1,00 |
1,00 |
2,00 |
|
|
К3 |
5,00 |
1,00 |
1,00 |
2,00 |
|
|
К4 |
4,00 |
0,50 |
0,50 |
1,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумма |
15,00 |
2,70 |
2,70 |
5,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормализация |
|
|
|
|
|
|
|
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
среднее |
мера согласованности |
К1 |
0,067 |
0,074 |
0,074 |
0,048 |
0,066 |
4,006 |
К2 |
0,333 |
0,370 |
0,370 |
0,381 |
0,364 |
4,039 |
К3 |
0,333 |
0,370 |
0,370 |
0,381 |
0,364 |
4,039 |
К4 |
0,267 |
0,185 |
0,185 |
0,190 |
0,207 |
4,027 |
|
|
|
|
|
ИС |
0,009 |
|
|
|
|
|
ИР |
0,9 |
|
|
|
|
|
Коэф. согласованности |
0,010 |
Следовательно, коэффициент согласованности по данному критерию составляет 0,010.
Рассчитаем коэффициент согласованности для всех критериев:
А= |
С1 |
С2 |
Р |
|
|
С1 |
1,000 |
3,000 |
4,000 |
|
|
С2 |
0,333 |
1,000 |
3,000 |
|
|
Р |
0,250 |
0,333 |
1,000 |
|
|
сумма |
1,58 |
4,33 |
8,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
нормализация |
|
|
|
|
|
|
С1 |
С2 |
Р |
среднее |
мера согласованности |
С1 |
0,632 |
0,692 |
0,500 |
0,608 |
3,131 |
С2 |
0,210 |
0,231 |
0,375 |
0,272 |
3,067 |
Р |
0,158 |
0,077 |
0,125 |
0,120 |
3,023 |
|
|
|
|
ИС |
0,037 |
|
|
|
|
ИР |
0,58 |
|
|
|
|
Коэф. согласованности |
0,063 |
Следовательно, показатель страхования ущерба занимает 60,8%, а стоимость гражданской ответственности составляет 27,2%.
Вычислим взвешенные средние оценки для каждого варианта решения:
|
|
|
рейтинги |
|
|
критерии |
Веса |
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
С1 |
0,608 |
0,314 |
0,085 |
0,421 |
0,179 |
С2 |
0,272 |
0,178 |
0,178 |
0,567 |
0,076 |
Р |
0,120 |
0,066 |
0,364 |
0,364 |
0,207 |
|
|
|
|
|
|
взвешенные ср. рейтинги |
0,248 |
0,144 |
0,454 |
0,154 |
На основе полученных результатов можно сделать вывод, что явно лидирует компания К3 (Ингосстрах), рейтинг которой составляет 45,4%, также значимым является рейтинг компании К1 (24,8%) – это страхования компания МАКС.
Задание 3. Принятие решений в условиях риска и неопределенности.
Издатель обратился в отдел маркетинга, чтобы выяснить предполагаемый спрос на книгу. Исследования отдела маркетинга показали:
Спрос на единицу в ближайшие три года, количество экз. |
2000 |
3000 |
4000 |
5000 |
Вероятность |
0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,2 |
Контрибуция к капитальным затратам и прибыли составляет 9 ф.ст. за книгу. Если книга не продается, убытки составляют 4 ф.ст. за штуку.
Если издатель не удовлетворяет спрос, убытки по неудовлетворенному спросу составят 1 ф.ст. (для поддержания репутации фирмы и будущего спроса).
Используя каждое из правил для решения задач в условиях риска и неопределенности определите, сколько книг должно быть издано в расчете на трехлетний период.
Составим матрицу доходов:
Решение |
Состояние природы (спрос) |
|||
2000 |
3000 |
4000 |
5000 |
|
2000 |
18000 |
17000 |
16000 |
15000 |
3000 |
14000 |
27000 |
26000 |
25000 |
4000 |
10000 |
23000 |
36000 |
35000 |
5000 |
6000 |
19000 |
32000 |
45000 |
Определим ожидаемый результат:
ЕР 2000 = 18000 * 0,1 + 17000 * 0,5 + 16000 * 0,2 + 15000 * 0,2 = 1800 + 8500 + 3200 + 3000 = 16500 (ф. ст.)
ЕР 3000 = 14000 * 0,1 + 27000 * 0,5 + 26000 * 0,2 + 25000 * 0,2 = 1400 + 13500 + 5200 + 5000 = 25100 (ф. ст.)
ЕР 4000 = 10000 * 0,1 + 23000 * 0,5 + 36000 * 0,2 + 35000 * 0,2 = 1000 + 11500 + 7200 + 7000 = 26700 (ф. ст.)
ЕР 5000 = 6000 * 0,1 + 19000 * 0,5 + 32000 * 0,2 + 45000 * 0,2 = 600 + 9500 + 6400 + 9000 = 25500 (ф. ст.)
Так как, ожидаемый доход от производства 4000 книг будет наибольшим (26700 ф. ст.), то следовательно необходимо издать 4000 книг.
Определим наиболее выгодный вариант в условиях неопределенности издания книг по нескольким критериям: