- •Іі Класична і квантова статистики
- •1. Поняття про функцію розподілу. Функція розподілу Максвела по швидкостям
- •2. Швидкості молекул.
- •Барометрична формула. Больцманівський розподіл молекул в силовому полі
- •4. Розподіл Максвелла-Больцмана
- •5. Елементи квантової статистики
- •6. Виродження системи квантових частинок
2. Швидкості молекул.
Хаотичний тепловий рух молекул характеризується трьома швидкостями: найбільш ймовірною, середньою арифметичною і середньою квадратичною.
-
найбільш ймовірну швидкістьVн.й мають більшість молекул. Це значення аргументу, яке відповідає максимуму функції (5). Знайдемо її, дослідивши функцію Максвела (5) на екстремум.
. .
.
Після спрощень маємо
. (7)
Тут враховано що .
2)Знайдемо середню арифметичну швидкість Vср. ар. з таких міркувань: швидкість V1 мають ∆N(V1) молекул; швидкість V2 мають ∆N(V2) молекул; швидкість Vk мають ∆N(Vk) молекул. Середня арифметична швидкість
,
або,
. (8)
Одержане співвідношення називається правилом статистичного усереднення. Так знаходяться середні значення фізичних величин при відомій функції розподілу по цій фізичній величині. Наприклад, середня енергія може бути знайдена за виразом
.
Розрахуємо середню арифметичну швидкість, скориставшись (5) і (6).
.
Виконаємо заміну аргументу інтегрування
Тоді:
.
Інтегрування по частинам дає
.
Одержуємо
. (9)
3) знайдемо середню квадратичну швидкість Vср.кв..
Можна середню квадратичну швидкість знайти простіше, знаючи середню енергію поступального руху молекул і означення середньої квадратичної швидкості.
.
Таким чином:
. (10)
-
Барометрична формула. Больцманівський розподіл молекул в силовому полі
Барометричною формулою називається залежність тиску Р атмосфери Землі в залежності від висоти h над її поверхнею. Знайдемо її. Для цього виділимо нескінченно малий циліндр повітря висотою dh і площею основи dS (див. рис.). Позначимо тиск на нижню основу Р(h),
на верхню P(h+dh). Маса повітря в цьому циліндрі dm = ρ∙dh∙dS. Густину знайдемо із рівняння Клапейрона-Менделєєва:
→ → .
Запишемо умову рівноваги циліндра. Горизонтальні сили тиску, які діють на бічну поверхню взаємно компенсуються. Залишаються вертикальні сили
→ →
→ .
Інтегруємо це рівняння з граничними умовами:
При h = 0, P = Po.
Одержали барометричну формулу
, (11)
де m – маса однієї молекули, Еп – потенціальна енергія молекули в гравітаційному полі Землі. Формула (11) показує, що по мірі збільшення висоти тиск зменшується по експоненті.
Враховуючи основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії , формула (11) перейде в формулу Больцманівського розподілу молекул по потенціальним енергіям
. (12)
Вираз (12) показує, що на більш високому енергетичному рівні знаходиться менше частинок (рис.). При Еп2 > Еп1 n2 < n1. Такий розподіл частинок називається нормальним. Якщо ж на більш високому енергетичному рівні знаходиться більше частинок, тобто при Еп2 > Еп1 n2 > n1, такий розподіл називається інверсною заселеністю енергетичних рівнів. Це термодинамічно не рівноважний стан системи. Саме таке заповнення рівнів необхідне для роботи лазерів.
Із виразу (12) випливає, що з зниженням температури концентрація молекул на висотах, відмінних від нуля зменшується, і при Т = 0К стає рівною нулю. Це означає, що при Т = 0К всі молекули знаходяться на поверхні Землі, тобто при h = 0. Отже силове поле намагається розмістити частинки в положення з мінімальною потенціальною енергією. Тепловий же рух навпаки намагається розподілити молекули рівномірно. Внаслідок цих протилежних факторів і встановлюється експоненціальний розподіл молекул з висотою.