556. Пуассонівський процес та його математична модель.

Пуассо́нівський проце́с — це поняття теорії випадкових процесів, що моделює кількість випадкових подій, що стались, якщо тільки вони відбуваються зі сталим середнім значенням інтервалів між їхніми настаннями.

У випадку вибраних одиниць вимірювання, це середнє значення дорівнює кількостей подій за одиницю часу, де λ — параметр процесу. Цей параметр часто називають інтенсивністю пуассонівського процесу.

Якщо розглянути послідовність часових інтервалів між подіями пуассонівського процесу, то ця послідовність буде послідовністю незалежних випадкових величин, яка має назву пуассонівського потоку.

Випадковий процес з неперервним і невід'ємним часом та дискретним станами називається пуасонівським, якщо:

1) він є процесом з незалежними приростами;

2) для нього виконується однорідність по часу;

3) його часовий переріз при t=0 являє собою випадкову величину, тотожньо рівну нулю (ще кажуть: випадковий процес починається в нулі);

4) при h прямує до 0 вірними будуть твердження:

а) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 0, дорівнює 1-λh+o(h);

б) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 1, дорівнює λh+o(h);

в) ймовірність того, що у момент часу h випадковий процес набуде значення 2, дорівнює o(h);

де o(h) — величина, порядок малості якої вищий, ніж h; λ — параметр, що визначає процес.

Для пуассонівського потоку ймовірність появи випадкової події k раз протягом проміжку часу t обчислюється за формулою:

де — інтенсивність потоку.

Тоді зі випливає: ймовірність того, що за час t жодна з подій не настане, подається у вигляді

а ймовірність настання однієї події за час t — у вигляді

Тоді ймовірність настання за час t більш як однієї події буде така:

Для малих значень t і значення нескінченно малі, а тому формули набирають такого вигляду:

557. Імовірні твірні функції.

Метод імовірнісних твірних функцій дає змогу звести систему лінійних алгебраїчних рівнянь високого порядку до системи функціональних рівнянь відносно ймовірнісних твірних функцій значно нижчого порядку. Розв’язуючи цю спрощену систему, знаходимо аналітичний вираз зазначених функцій, за допомогою якого визначаються основні числові характеристики.

збіжний степеневий ряд виду

називають імовірнісною твірною функцією, де , — імовірність того, що система містить k вимог.

Основні властивості :

1. Оскільки

То

.

2. Оскільки , то

і за х = 1 дістаємо, що . З того, що , випливає:

.

3. Оскільки ,

то

Тоді .

Якщо в систему надходять два пуассонівські потоки, то ймовірнісна твірна функція в цьому разі має такий вигляд:

де , є ймовірність того, що система містить і вимог першого пуассонівського потоку і j вимог другого пуассонівського потоку.

558. Визначення ланцюга Маркова. Матриця однокрокового переходу. Однорідні ланцюги Маркова та їх класифікація.

Ланцюг Маркова - це випадковий процес, що задовольняє властивість Маркова і який приймає скінченну чи зліченну кількість значень(станів). Існують ланцюги Маркова як з дискретним так і з неперервним часом.

Нехай I  -деяка скінченна чи зліченна множина елементи якої називаються станами. Нехай деякий процес в момент часу n (де n=0,1,2,3...) може перебувати в одному із цих станів, а в час n+1 перейти в деякий інший стан(чи залишитися в тому ж). Кожен такий перехід називається кроком. Кожен крок не є точно визначеним. З певними ймовірностями процес може перейти в один з кількох чи навіть усіх станів.

Послідовність дискретних випадкових величин називається ланцюгом Маркова (з дискретним часом), якщо

Тобто майбутні значення послідовності залежать лише від теперішнього стану і не залежать від минулих.

Матриця P(n), де

називається ма́трицею ймовірностей переходу на n-му кроці, а вектор , де

— початковим розподілом ланцюга Маркова.

Очевидно, матриця ймовірностей переходу є стохастичною, тобто

.

Ланцюг Маркова називається однорідним якщо:

,

або еквівалентно:

для всіх n.

Перехід системи зі стану до стану , який може відбуватися з певною ймовірністю в момент часу t, позначається як і називається умовною ймовірністю переходу.

Повна ймовірнісна картина всіх можливих переходів системи, яка має N станів, подається у вигляді квадратної матриці:

яку називають імовірнісною матрицею переходів. При цьому

,

оскільки ці випадкові події (перехід системи з фіксованого стану до будь-якого можливого стану утворюють повну групу. Враховуючи те, що моменти часу переходу системи названо кроками, умовні ймовірності переходу на k-му кроці позначають і називають перехідними ймовірностями марковського ланцюга.

Маркова називають однорідним, якщо тобто перехідні ймовірності не залежать від кроку k.

Матриця перехідних імовірностей для однорідних ланцюгів Маркова подається у вигляді

.

Матрицю називають матрицею однокрокового переходу системи.