2.2. Характеристики одноканальной смо с неоднородной нагрузкой.

Рассмотрим характеристики функционирования ОК СМО с неоднородной нагрузкой. Пусть в СМО поступают заявки Н классов с параметрами:

– ₁,₂, ... ,_н— интенсивность поступления;

– _а1,_а2, ... ,_ан— КВ интервалов поступления;

– b₁,b₂, ... ,b_н— среднее время обслуживания;

– ₁,₂, ... ,_н— КВ длительности обслуживания.

Приведенные параметры полностью описывают систему, которая является СМО типа :

Характеристики СМО в случае неоднородной нагрузки определяются как для заявок отдельных классов, так и для заявок объединенного потока, и те и другие характеристики во многом аналогичны соответствующим характеристикам системы с однородной нагрузкой.

Характеристики заявок отдельных классов.

1) Pr{n₁,n₂, ...,n_H} — вероятности состояний СМО, где под состоянием системы здесь понимается вектор , показывающий, сколько заявок каждого класса находятся в системе.

2) _к=_кb_к— загрузка СМО заявками классаk (k–заявок). При этом, загрузка_к имеет тот же физический смысл, что и в случае однородной нагрузки, но только применительно к классуk .

3) _k— среднее время ожиданияk–заявок.

4) u_k=_k+b_k— среднее время пребывания в системеk–заявок.

5) l_k=_k_k— средняя длина очереди заявок классаk.

6) m_k=_ku_k =l_k+_k — среднее числоk–заявок в системе .

Соотношения взаимосвязи между характеристиками заявок отдельных классов такие же, что и в случае однородной нагрузки. Эти соотношения также всегда справедливы, если только СМО является системой без отказов.

Характеристики заявок объединенного потока.

1)— суммарная загрузка системы и СМО функционирует в стационарном режиме, еслиR<1. При этом=1–R— коэффициент простоя.

2)— среднее время ожидания заявок объединенного потока, где — интенсивность результирующего потока.

3)— среднее время пребывания, где — усредненное время обслуживания.

4)— средняя (суммарная) длина очереди.

5)— среднее число заявок в системе.

2.3. Характеристики многоканальной смо (однородная нагрузка).

Рассмотрим МК СМО из Nобслуживающих приборов, в которую поступает поток заявок интенсивностии КВ_аинтервалов поступления. Все приборы совершенно идентичны и среднее время обслуживания в одном приборе равноb, а КВ длительности обслуживания –. Определим для описанной МК СМО (типаG/G/N) характеристики функционирования.

1) Вероятности состояний. Под состоянием МК СМО как и в случае ОК СМО понимается число заявокk, находящихся в системе, и вероятность такого состояния также обозначается черезP_k,k= 0, 1, 2, ...

2) Загрузка. По аналогии с ОК СМО произведениеbможно было бы трактовать как загрузку МК СМО. Однако это не так и в качестве загрузки МК СМО принимаетсязагрузка ее одного прибора, определяемая как=b/N.Это делается с тем, чтобы использовать одинаковые обозначения для загрузки, придать одинаковый смысл загрузке, "приравнять" отдельные приборы МК СМО и прибор в ОК СМО. После такого определения загрузки МК СМО для нее справедливы все утверждения, приведенные ранее относительно загрузки ОК СМО. Отношение/N=в выражении для загрузки характеризует интенсивность заявок, приходящих на один прибор МК СМО. Условием существования стационарного режима:=b<1.

3) Среднее число заявокmв МК СМО определяется так же, как и в ОК:

m=.

4) Средняя длина очереди

l=,

где k–N — число заявок в очереди, когда в системе находитсяk заявок.

5) Среднее время ожиданияопределяется по формуле Литтла:

=l/.

6) Среднее время пребывания

u=m/=+b.

7) Вероятность ожиданияили вероятность того, что всеNприборов заняты обслуживанием заявок

.

8) Для МК СМО представляет интерес такая характеристика как среднее число занятых приборов, определяемая следующим равенством:

.

С другой стороны, — этосреднее число заявок,находящиеся в обслуживающих приборах, т.к., очевидно, что число занятых приборов всегда равно числу заявок в приборах. Вспомним, что загрузка=b/N— это среднее число заявок в приборе (одном). Тогда среднее число заявок вNприборах равноN. Таким образом

=b.

Очевидно, что m=l+(сравните сm=l+для ОК СМО). Действительно