2. Характеристики функционирования смо

2.1. Характеристики одноканальной смо с однородной нагрузкой.

Предположим, что задана ОК СМО общего вида (типа G/G/1), для которой определены параметры нагрузки, а, именно, интенсивностьи КВ_аинтервалов поступления, интенсивность обслуживанияи КВдлительности обслуживания:

Основными характеристиками, определяющими качество функционирования такой СМО, являются:

1. вероятности состояний системы;

2. загрузка или коэффициент использования системы;

3. время ожидания заявок в системе;

4. время пребывания в системе;

5. число заявок в очереди системы или длина очереди;

6. число заявок в системе.

Следует отметить, что все перечисленные характеристики имеют смысл только в том случае, когда система функционирует в установившемся режиме (без перегрузок), что и предполагается далее. Кроме того, последние четыре характеристики являются случайными величинами ("3" и "4" – непрерывные, "5" и "6" – дискретные) и полный анализ этих характеристик предполагает определение соответствующих функций распределения. Однако в большинстве практических приложений достаточно анализировать данные характеристики на уровне их средних значений, что и делается далее.

Остановимся на перечисленных характеристиках более подробно.

1) Вероятности состояний системы— это наиболее полная характеристика системы в том смысле, что, зная вероятности состояний, можно определить все остальные характеристики. При этом под состоянием СМО понимается число заявок, находящихся в системе. Вероятность состояния системы, когда в ней находитсяkзаявок, обозначим далее черезР_k,k=0, 1, 2, ...

2) Загрузка системы— это отношение интенсивности поступленияк интенсивности обслуживанияи обозначается через:

=/=b=b/а,

где а=1/иb=1/– средние значения интервалов поступления и длительности обслуживания соответственно.

Значение загрузки определяет условие существования в системе стационарного режима. Необходимым и достаточным условием существования в стохастической СМО стационарного режима является условие, когда <1 или<. Выполнение этого условия означает, что система в среднем справляется с поступающей нагрузкой. Если1, то система работает в режиме перегрузок.

Загрузка СМОхарактеризует:

а) среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки;

б) долю времени, в течение которого прибор занят обслуживанием;

в) вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявок;

г) среднее число заявок, находящихся в обслуживающем приборе.

Перечисленные утверждения составляют физический смыслзагрузки.

Справедливость утверждения "а" следует из определения загрузки =b: если– среднее число заявок, поступающих в единицу времени, то за времяb в систему поступят в среднемb заявок.

Справедливость утверждения "б" можно показать следующими простыми рассуждениями. Рассмотрим достаточно длинный интервал tвремени функционирования системы. Для простоты предположим, что в начале и в конце этого интервала система была свободна. Очевидно, что за времяtв систему в среднем поступятtзаявок. Каждая из этих заявок в среднем обслуживается за времяb. Тогда суммарное время обслуживания всех заявок равноtb. Отсюда доля времени, в течение которого прибор занят обслуживанием заявок, равнаtb/t=b=, что и следовало показать.

Утверждение "в" напрямую следует из утверждения "б", ибо рассмотренная ранее доля времени и есть вероятность занятости прибора. Тогда вероятность простоя системы равна 1–.

Справедливость утверждения "г", в свою очередь, следует из утверждения "в": в приборе может находиться 1 заявка с вероятностью  и 0 заявок с вероятностью 1–.Тогда среднее число заявок в приборе равно

1·+ 0·(1–)=.

3) Время ожидания— это, как правило, случайное время, которое заявка проводит в очереди в состоянии ожидания. Среднее значение этого времени, которое представляет наибольший интерес, обозначается через.

4) Время пребывания— это случайный промежуток времени от момента поступления заявки в систему до момента окончания ее обслуживания. Для среднего значенияuвремени пребывания справедливо равенство:

u=+b.

5) Среднее число заявок в очередиили средняя длина очереди

l=.

6) Среднее число заявокm, находящихся в системе, складывается из средних значений числа заявок, находящихся в очереди (l) и в приборе ():

m=l+= +b=(+b)=u

Формулы  =b,l=иm=u называютсяформулами Литтласоответственно для прибора, очереди и системы в целом. Справедливость этих формул показывается далее в разделе 2.4.

Ранее отмечалось, что если известны вероятности состояний, то можно определить и все остальные характеристики системы. Предположим, что вероятности состояний Р_к=Pr{в системе находитсяkзаявок},k = 0, 1, 2, ..., известны или заданы. Тогда загрузка системы, которая характеризует вероятность того, что, прибор занят обслуживанием, определяется равенством:

,

где P₀– вероятность простоя системы.

В системе могут находиться 1, 2, 3, ... заявок соответственно с вероятностями P₁,P₂,P₃, .... Тогда, исходя из определения математического ожидания дискретной случайной величины, среднее число заявок в системе

.

Если в системе находится kзаявок, то в очереди ожидаютk–1 заявка (k= 1, 2, 3, ...). Тогда средняя длина очереди

m–.

Зная среднее число заявок в системе (m) и в очереди (l), соответствующие временные характеристики можно определить по формуле Литтла:

u=m/и=l/=u–b.

Полученные соотношения взаимосвязи между характеристиками функционирования системы справедливы при любых законах распределений интервалов поступления и длительности обслуживания заявок и таким образом носят фундаментальный (универсальный) характер. Единственное требование — это требование, чтобы система была без отказов, т.е. емкость накопителя была не ограничена.