9. Задача Бюффона

П лотность раздроблена || прямыми отстоящие друг от друга на равное расстояние 2а.найти вероятность того что игла пересечет какую-нибудь прямую

10. Задача о делении приза

Пусть идет игра, счет 5:3, каждая команда отвечает с вероятностью 50%

Чтобы выиграть второй команде надо ответить 3 раза подряд т.е. Р=1/8

Значит вероятн выигрыша первой – 7/8

Так и делят приз.

11. Теорема умножения. Независимость. Теорема сложения.

Вероятн произ двух незав соб А и В=произ их вероятн Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Вероятн произ двух зав соб А и В = произ вер наступл А на условную вер соб В при усл что соб А уже произошло Р(А*В)=Р(А)*Р_А(В) Р_А(В)=Р(А/В)=Р'(АВ)/Р(А)

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В,т. е. Р(В/А)=Р(В)

Вероятн суммы двух несов соб А и В = сумме вероятностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Вероятн суммы двух совм соб А и В = сумме вероятн этих соб без вер их произ Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

12. Ф-ла полной вероятности

Будем говорить, что события H1,H2,….Hn образуют полную группу, если в рез-те эксперимента: происходит одно из событий Hi (i=1,…n); события H1,H2,..Hn попарно несовместны. В этом случае имеем:P(H1+H2+…+Hn)=P(h1)+P(H2)+…+P(Hn)=1, и вероятность произвольного события А, произошедшего в условиях данного эксперимента может быть вычислена по формуле полной вероятности:

13. Ф-ла Байеса

Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:

14. Схема и формула Бернулли, частные случаи. Ф-ла Пуассона

Пусть проводятся n независимых опытов, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью p. Обычно появление А называют успехом. Обозначим через q=1-p – вероятность того, что событие А не наступает, и через Bn(m)- событие, заключающееся в том, что в серии из n опытов закончатся успешно (ровно m раз произойдет событие А). Тогда для люього m=0,1,…,n справедлива формула (схема) Бернулли. P(Bn(m))=C_n^mp^m*q^n-m. Теорема Пуассона.  При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона. Если число испытаний n → и p→ 0 так, что np   ,  > 0, то

при любых k = 0, 1, 2, … .

Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле

можно воспользоваться приближенной формулой

.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np(1-p) < 9.

15. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

if npq≥10

Лок. фор-ла Муавра-Лапласа: npq≥10

P_n(K)=1/sqrt(npq)*1/sqrt(2Π)*exp((-x^2)/2)

x=(k-np)/sqrt(npq)

Интегральная форм. Муавра-Лапласа:

P(K₁≤К ≥К₂)=Ф(х₂)-Ф(х₁)

X₁=(k₁-np)/sqrt(npq)

X₂=(k₂-np)/sqrt(npq)

Ф(х)=1/sqrt(2Π)* ∫_-t^t exp(-(t^2)/2)dt