22. Статистическое оценивание. Точечные оценки. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.

Статистическое оценивание, совокупность способов, употребляемых в математической статистике для приближённого определения неизвестных распределений вероятностей (или каких-либо их характеристик) по результатам наблюдений.

Точечной оценкой ^* параметра  называется числовое зна­чение этого параметра, полученное по выборке объема п.

Для любой случайной величины X кроме определения ее функции распределе­ния желательно указать числовые характеристики, важнейшими из которых являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Пусть объем генеральной совокупности равен N. Тогда математическим ожидание случайной величины X является генеральное среднее:

Дисперсией случайной величины X является генеральная дисперсия:

Корень квадратный из генеральной дисперсии называется генеральным средним квадратическим отклонением:

Таким образом, для нахождения генеральных числовых ха­рактеристик необходим анализ всей генеральной совокупности.

Выборочное среднее – это среднее арифметическое наблю­даемых значений выборки.

При задании выборки в виде статистического ряда выборочное средние рассчитывается по следующей формуле:

Оценкой генеральной дисперсии является выборочная дис­персия:

23. Статистическое оценивание. Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины.

Статистическое оценивание, совокупность способов, употребляемых в математической статистике для приближённого определения неизвестных распределений вероятностей (или каких-либо их характеристик) по результатам наблюдений.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Интервальной оценкой – называется интерва­л (₁, ₂), внутри которого с наперед заданной вероятностью  находится точное значение оцениваемого параметра .. Зада­чу определения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал – доверительным интерва­лом. При этом  называют доверительной вероятностью или надежностью, с которой оцениваемый параметр  попадает в интервал (_1, ₂).

Для оценки математического ожидания a случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении  служит доверительный интервал:

где - точность оценки, n – объем выборки, x^* - выборочное среднее, t - аргумент функции Лапласа, при котором  .