I.10. Оценивание и способы уменьшения случайных погрешностей

Математическое описание случайных погрешностей.

Измеряемая величина, содержащая случайную погрешность, должна рассматриваться как случайная величина. Из теории вероятностей известно, что наиболее полно случайные величины характеризуются законами распределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей

, (1.13)

где F(x)– вероятность значений случайной величины х в интервале dx.

Наряду с плотностью распределения вероятностей используется функция распределения вероятностей случайной величины

, (1.14)

которая выражает собой вероятность того, что случайная величина находится в интервале от -¥ до x₁ . Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией, определенной так, что F(-¥)=0, а F(+¥) = 1 . Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале между x₁ и x₂ , равна

(1.15)

В разнообразных измерительных устройствах законы распределе­ния вероятностей различны. Преимущественно встречаются нормальные и равномерные распределения. Случайная величина X распределена нормально, если её плотность вероятностей имеет вид

(1.16).

где s - среднее квадратическое отклонение, m=M[Х];

m - математическое ожидание.           Математическое ожидание M[X] случайной величины X является постоянной величиной и характеризует её среднее значение. Величина является случайной погрешностью. Если систематичес­кая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величиныX.

На рис. I.I, а показана дифференциальная функция нормального распределения f(x). Рассеяние результатов вокруг M[х] уменьшаетcя с уменьшением s. При расчетах пользуются нормированным нормаль­ным распределением, когда нормируется случайная величина:

(1.17)

где нормированная случайная величина. Интеграл

_(1.18)

Рис.1.1,а

выражает вероятность попадания случайной погрешности в интервал 0–t₁ и носит название функции Лапласа. Значения f(t) и Р(t₁) приводятся в табл. I и 2 приложения. Из табл. 2 приложения можно найти, что вероятностьпоявления случайной погрешности в интерва­лах±t₁ = = ± 1 ; ±2 ; ± 3c учетом симметричности распреде­ления равна соответственно 0,683, 0,954, 0,997. Эти цифры характе­ризуют вероятность появления случайной погрешности в интервалах ±s'; ±2s;'±3s. Если случайные погрешности определяются по резуль­татам измерений, то в большинстве случаев они имеют нормальное распределение.

Р







,

0

x

x

x

при

авномерное распределение,показанное на рис. 1.1,б, записы­вается в виде:







2

1

1

)

(

x

f









2

1

.

,

x

x

x

при

(



1

2

x

x

1.19)





0

x

x

при







1

x

x























2

2

1

1

2

1

1

x

x

при

x

x

x

при

x

x

x

P

Вероятность появления погрешности в интервале x₄-x₃ равна

Равномерное распределение имеет погрешность квантования из­меряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах.

Если закон распределения неизвестен, то всегда принимают равномерное распределение.

В измерительной практике встречаются и другие законы распределения, которыми в [6] рекомендуется аппроксимировать реальные законы распределений: треугольный, трапециевидный, антимодальные I и II, Рэлея.

Для решения многих задач не требуется знание функции и плотности распределения вероятностей, а вполне достаточными ха­рактеристиками случайных погрешностей служат их числовые характеристики: математическое ожидание (первый начальный момент)

(I.20) и дисперсия (второй центральный момент)

(1.21)

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, есть среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Математическое ожидание является центром группирования случайной величины, а дисперсия характеризует мощность рассеяния.

Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией.

Равномерное распределение (рис I.I,б) тоже определяется дву­мя параметрами M[x]и x_т .

Дисперсия равномерного распределения

(1.22)

а среднее квадратическое отклонение

Вероятность появления случайной погрешности в интервале ±s составляет р=s/x_m=0.578 .

Числовые вероятностные характеристики погрешностей, представ­ляющие собой неслучайные величины, теоретически определяются при бесконечном числе наблюдений. Практически число наблюдений n всегда ограничено. Поэтому реально пользуются статистическими числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные характеристики и называют оценками характеристик. Чтобы под­черкнуть различие между формулами вероятностных характеристик и их оценок, последние отмечают знаком ~.

К оценкам случайной величины, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка параметра Q считается состоятельной, если при увеличе­нии числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины :

Несмещенной она называется в том случае, если математическое ожидание её равно истинному значению оцениваемой величины: .

Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной ее назы­вают .

Обычно для симметричных распределений в качестве оценки ма­тематического ожидания ряда равноточных наблюдений принимают сред­нее арифметическое ряда наблюдений п:

(1.23)

где q_i - результат i наблюдения; п - число наблюдений.

Если отсутствует систематическая погрешность, то при .

Разность представляет собой случайную погрешность приi -м наблюдении. Она может быть как положительной, так и отрицательной.

Среднее арифметическое, независимо от закона распределения, обладает следующими свойствами:

(I.24)

(1.25)

Первое свойство используется для проверки правильности вы­числения , а второе положено в основу метода наименьших квад­ратов.

В качестве оценки дисперсии берётся дисперсия отклонения ре­зультата наблюдения

, (1.26)

а оценки среднего квадратического отклонения

. (1.27)

Формула (1.27) характеризует среднее квадратическое отклонение отдельного наблюдения.

Для вычислений абсолютной погрешности требуется найти разность между результатом наблюдения Q_i и истинным значением из­меряемой величины Q_ист. Но Q_ист никогда неизвестно, поэтому, как уже отмечалось, на практике пользуются действительным значением измеряемой величины. При достаточно большом числе наблюдений, не искаженных систематической погрешностью, в качестве действитель­ного значения можно принять среднее арифметическое результатов наблюдений и принять его за результат измерения.

Среднее арифметическое зависит от числа наблюдений и является случайной величиной с некоторой дисперсией относительно истинного значения величины Q_ист , т.е. величину можно рас­сматривать как оценкуQ_ист , т.е. .

В теории вероятностей показывается, что оценкой дисперсии среднего арифметического ряда наблюдений относительно истинного значения является

(1.28)

Величину называют средним квадратическим откло­нением результата измерений.

Следовательно, взяв за результат измерения , уменьшаем среднее квадратическое отклонение враз по сравнению со слу­чаем, когда за результат измерения принимается любое одно изп наблюдений. Из полученных выражений видно, что многократные измерения с последующим усреднением результатов позволяют уменьшить случайную составляющую погрешности, а также оценить её.

Доверительный интервал.

Рассмотренные оценки результатов измерений называют точечными. Они указывают интервал значений измеряемой величины, внутри которого находится истинное значение, Посколькуивеличины случайные, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности того, что абсолютное значение отклонениябудет оставаться меньше некоторой величины

(1.29)

или

(1.30)

Величина e характеризует точность оценки, а вероятность р , называемая доверительной вероятностью и коэффициентом доверия, – надёжность оценки.

Зависимость (1.30) , записанная в виде

(1.31)

говорит о том, что случайный интервал J(p)=2e, находящийся в пределах от , с вероятностью р накрывает величину Q_ист (или неслучайная величина Q_ист с вероятностью p оказывается внутри этого интервала). Интервал J(р) называют доверитель­ным интервалом, а его границы доверительными.

Используя интервальную оценку результатов измерений, необхо­димо задавать доверительный интервал и доверительную вероятность. Если закон распределения вероятностей случайных погрешностей из­вестен, то выбор одной из указанных величин определяет вторую. Это видно из следующего. После подстановки в (1.29) нормированных ве­личин t = D/s и t_p=e/s можно записать известное из теории ве­роятностей равенство

(1.32)

Следовательно, (1.33) и при известной функции распределения F(t) конкретное значение р

определяет значение t_p и наоборот.

В случае нормального распределения и числа наблюдений п³20 t_p выбирается по таблице функций Лапласа (см. табл. 2 приложения), при этом значение вероятности умножается на 2, так как в таблице они приведены для половины симметричного интервала.

Если число наблюдений п £20, доверительный интервал случайной погрешности при заданных вероятности р и средним квадратическим отклонением результата измерения определяется по формуле Стьюдента

(1.34)

где t _{p ,n} - коэффициент распределения Стьюдента, который зависит от заданной вероятности p и числа наблюдений п (табл.3 приложе­ния). При п>20 распределение Стьюдента приближается к нормальному и вместо t _{p ,n} можно использовать t _p для нормального распределе­ния.

При равномерном распределении обычно принимают (т.е. дляp=1), поскольку доверительный интервал слабо зависит от доверительной вероятности.

Как правило, в практике измерений доверительную вероятность принимают р = 0.95. Если измерения нельзя повторить, то р=0.99. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием новых эталонов или от них зависит здоровье людей, то p= 0.997 и выше.

При нормальном законе распределений погрешностей доверитель­ная вероятность р=0.68 соответствует доверительному интервалу

При оценке погрешностей, как уже указывалось, очень важно знать их закон распределения. Из теории вероятностей известно, если имеется большое число наблюдений (п³30 ), то оказывается возможным проверить гипотезу относительно закона распределения. Гипотеза может быть высказана на основе построения гистограммы. Для проверки соответствия гипотезы экспериментальному распреде­лению существует ряд критериев. Наиболее распространенным является критерий Пирсона, или критерий c²(«хи - квадрат»), который позволяет проверить соответствие экспериментальных данных любому распределению, а не только нормальному.

Схема обработки результатов измерения с многократными наблю­дениями приведена на рис.1.2.

Оценка результатов неравноточных измерений.

Выше был рассмотрен ряд равноточных измерений, в котором мы одинаково доверяли результату любого наблюдения. На практике не всегда можно обеспечить полную воспроизводимость условий повтор­ных измерений, результаты их будут иметь отличный друг от друга разброс. Результаты с большим разбросом не следует отбрасывать, они могут быть использованы, их можно учесть, уменьшив их «вес» в совокупности результатов всех измерений.

В авиационной технике одну величину, как правило, измеряют несколькими приборами, которые могут давать неравноценные по точ­ности результаты. Измерения могут проводиться также наблюдателями различной квалификации и опыта, что приводит к неравноточным изме­рениям.

При неравноточных измерениях каждую группу результатов наблю­дений, относящихся к одинаковым условиям (данный прибор, данный наблюдатель и т.д.), необходимо оценить с точки зрения степени до­верия, определить их «вес» в общей совокупности всех результатов, подлежащих обработке, для получения значения измеряемой величины, наиболее близкого к истинному.

Таким образом, понятие «вес» отражает степень доверия к резу­льтату измерения. Чем больше степень доверия к результату, тем больше его вес, тем больше число, выражающее этот вес.

В этом случае значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному её значению, определяется как

(1.35)

где - средние значения для отдельных групп измерений

n наблюдений

Исключение

Система-тических

погрешностей

Оценка

закона

распределения

Выбор доверительной

Вероятности P

Оценка

доверительного

интервала

Запись результата

измерений

Остаточные

Погрешности

Проверка

(полученных разными приборами, разными наблюдателями и т.д.); – их вес;Q₀ называют средним взвешенным.

Наиболее правильным значением веса для данного результата является его вероятность (p). Если нет возможности определить вероятность, то числовые значения веса устанавливают, учитывая условия измерений.

Рассмотрим некоторые из них:

1. Веса соответствующих групп измерений считают обратнопропорциональными дисперсиям. . (1.36)

2. Другим критерием для определения весов результатов измерений нередко являются числа наблюдений а в каждой группе. Этот критерий применяется, если дисперсии в каждой группе одинаковы

. (1.37)