- •Понятие ф-и и способы ее задания
- •Функции в экономике
- •Вопрос 4. Числовая последовательность и ее пределы.
- •Вопрос 5. Предел функции, основные теоремы о пределах.
- •Вопрос 6. 1ый и 2ой замечательные пределы.
- •7.Бесконечно малые, бесконечно большие величины
- •8.Непрерывность функций. Точки разрыва, их классификация.
- •13. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •14. Экономический смысл производной и понятие эластичности.
- •15. Приложение производной.
- •5.Теорема(правило) Лопиталя.
- •Вопрос 22 Экстремумы
- •Вопрос 23 Метод наименьших квадратов
- •24 Вопрос Неопределенный интеграл, свойства
- •25.Методы интегрирования неопред. Интеграла.
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2.Интегрирование по частям
- •3.Метод замены переменной
- •4.Интегрирование рациональных дробей.
- •27.Методы интегрирования определенноно интеграла.
- •28. Несобственные интегралы.
- •29. Дифференциальные уравнения.
- •30. Решение дифференциальных уравнений.
3.Метод замены переменной
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Замечание:
Новую переменную можно не вписывать явно. В этом случае говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала, или о введении постоянных переменных под знак дифференциала.
4.Интегрирование рациональных дробей.
Дробь называется правильной, если n<m, в противном случае дробь наз-ся неправильной.
Пусть правильная дробь, тогда ее можно представить в виде конечной суммы элементарных дробей.
Можно выделить несколько типов рациональных дробей:
I. Вид: .
II. Вид: (k-целое положительное число ³2).
III. Вид: .
IY. Вид: (k-целое³2).
Рассмотрим интегралы от простейших рациональных дробей.
I. .
II. =A .
III.
=
=
+ .
Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей 4 типа.
IY. .
26 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВ_ВА
27.Методы интегрирования определенноно интеграла.
Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующая формула:
Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправдано.
Все остальные методы интегрирования полностью переносятся на случай определенного интеграла(см. вопрос 25)
28. Несобственные интегралы.
Пусть ф-я y=f(x) интегрирована на отрезке [a,b], , то ф-я будет интегр. на вложенном в . Тогда имеет место рав-во: . -интеграл с переменным верхним пределом. Пусть на [a,b], тогда знач-е -это площадь под кривой на . В этом состоит геом. смысл(рис.1). Можно дать определ. для случая, когда рассматривается интеграл с переменным верхним пределом, причём верхний предел определён несобственным числом. Тогда имеет место особый вид интегр. – несобственный интегр. Пусть y=f(x) интегрир. на отрезке [a,t], т.е. , , тогда имеет место опр-е: от ф-и f(x) на полуинтервале будем называть несобств. интегралом. Для вычисления несобств. интегр. будем пользоваться след. правилом: (1). Рассмотрим рав-во (1): если lim, стоящий в правой части рав-ва (1) существует и конечен, то несобств. интегр. называется сходящимся к данному lim. В противном случае интеграл расходящийся. Аналогично определяется интегр. в кот.нижний предел является числом несобств., а именно: (2). Обобщая рав-ва (1) и (2) мы можем сказать, что если y=f(x) интегр. на [a,b], то: (3).(рис.2) S(x)=S трапеции, ограниченной прямой x=a и y=f(x) на полуинтервале и лучом y=0 на . Для того чтобы вычислить всю площадь под кривой то: .