- •Предел функции в точке. Определенные, основные свойства.
- •Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
- •Непрерывность функции в точке. Точка разрыва. Классификация точек разрыва.
- •Предел функции в точке. Единственность предела.
- •Теорема о сохранении знака функции.
- •Бесконечно малые функции в точке. Теорема о бесконечно малых.
- •Сравнение бесконечно малых. Эквивалентно бесконечно малые.
- •Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Коши и Вейерштрасса (без доказательств).
- •Производная функции в точке. Геометрическая и механическая интерпретация
- •1)Механический смысл производной
- •2)Геометрический смысл производной
- •Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
Предел функции в точке. Определенные, основные свойства.
Предел функции в точке
Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения a. Запись (1) обозначает, что для каждого числа ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 <|x - a|< δ, справедливо неравенство |f(x) – A| < ε.
Для существования предела функции (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности xn → a, xn ≠ a (xn є X; n = 1, 2, …), было выполнено равенство .
Имеют место два замечательных предела:
1) 2) .
Критерий Коши. Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что |f(x’) – f(x’’)| < ε,как только 0<|x’ - a|<δ и 0<|x’’ - a|<δ, где x’ и x’’ – любые точки из области определения функции f(x).
Свойства пределов функции
1) Предел постоянной величины.
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2) Предел суммы.
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Расширенное свойство предела суммы.
Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций: Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
Односторонние пределы
Число A’ называется пределом слева функции f(x) в точке a: A’ = Если |A’ – f(x)| < ε при 0 < a – x < δ(ε) .
Аналогично, число A’’ называется пределом справа функции f(x) в точке a:
A’' = ,если |A’’ – f(x)| < ε при 0 < x – a < δ(ε) .Для существования предела функции f(x) в точке a необходимо и достаточно, чтобы f(a – 0) = f(a + 0).
ИЛИ
Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х0, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х0 и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε:
( ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 ) ( x0 - δ < x < x0) : | f (x) – A | < ε.
Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х0, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х0 и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε:
( ε > 0 ) ( δ = δ (ε) > 0 ) ( x0< x < x0+ δ) : | f (x) – В | < ε
Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как и
Теорема. Функция f (x) имеет в точке х0 конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам. Доказательство. Пусть
Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,
( ε > 0 ) ( δ1 = δ1 (ε) > 0 ) ( x0– δ1 < x < x0) : | f (x) – A | < ε.
( ε > 0 ) ( δ2 = δ2 (ε) > 0 ) ( x0< x < x0+ δ2) : | f (x) – A |<ε
Возьмем δ = min{δ1,δ2}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < | х - х0 | < δ, будет выполняться неравенство | f (x) - A | < ε. Что и означает .Обратно, пусть . Тогда, по определению предела функции в точке, для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от этого ε число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х0| < δ, выполняется неравенство | f (х) – А | < ε. Тем самым, как для х0– δ < х < х0, так и для х0 < x < х0 + δ, справедливо неравенство | f (х) – А | < ε. А это,согласно определению односторонних пределов, означает, что .