Зміст:

1. Гідростатичний тиск і його властивості.

2. Диференціальне рівняння рівноваги рідини.

3. Основне рівняння гідростатики.

4. Прикладні питання гідростатики.

 

1. Гідростатичний тиск і його властивості

У рідині, що перебуває у стані спокою, можливий лише один вид напруження - напруження стиснення, тобто гідростатичний тиск.

Існує дві основні властивості гідростатичного тиску в рідині:

1.      На зовнішній поверхні рідини гідростатичний тиск завжди направлений по нормалі всередину даного об'єму рідини. Ця властивість витікає з визначення тиску, як напруження нормально стискаючої сили.

2.      У будь-якій точці усередині рідини гідростатичний тиск у всіх напрямках однаковий, тобто тиск не залежить від кута нахилу площадки, на яку він діє в даній точці.

Доведемо цю властивість. Виділимо в нерухомій рідині елементарний об'єм у формі прямокутного тетраедра з ребрами, паралельними координатним осям і відповідно рівними d_x, d_y і d_z (див. рис.2.1).

Рис. 2.1. До розгляду властивостей гідростатичного тиску

Хай поблизу виділеного об'єму на рідині діє одинична масова сила, складові якої рівні Х, Y і Z.

Позначимо через р_х гідростатичний тиск, що діє на грань, нормальну до осі ОХ, через р_у - тиск на грань, нормальну до осі ОУ і т.д. Гідростатичний тиск, що діє на грань похилої, позначимо через р_n,, а площа цієї грані dS. Всі ці тиски направлені по нормалях до відповідних площадок.

Складемо рівняння рівноваги виділеного об'єму рідини уздовж осі ОХ, тоді сила тиску уздовж осі 0Х рівна

.

Маса тетраедра рівна добутку його об'єму на густину, тобто . Отже, масова сила, що діє на тетраедр уздовж осі ОХ, рівна

.

Тоді, рівняння рівноваги тетраедра запишеться в наступному вигляді:

.

Розділимо це рівняння почленно на площу , яка є проекцією грані похилої dS на площину yОz, і, отже

.

Матимемо .

При прагненні розмірів тетраедра до нуля останній член рівняння, що містить множник d_x, також прагнутиме до нуля, а тиск р_х і р_n залишатимуться кінцевими величинами. Отже, в межі p_x - p_n = 0, р_х = р_n.

Аналогічну рівність одержимо для тиску р_у і р_z уздовж відповідних осей Оy і Оz після таких же міркувань: р_у = р_n, р_z = р_n,

А, отже

ру = рn, рz = рn,

(2.1)

що і потрібно було довести.

Оскільки розміри тетраедра d_x, d_y і d_z були узяті довільно, то нахил площадки dS довільний. При стяганні тетраедра в точку тиски в цій точці по всіх напрямах будуть однакові.

Доведена властивість гідростатичного тиску в нерухомій рідині має місце також при русі нев'язкої рідини. При русі ж в'язкої рідини виникає дотичне напруження, унаслідок чого гідромеханічний тиск у в'язкій рідині вказаною властивістю не володіє.

 

2. Основне рівняння гідростатики

Розглянемо основний випадок рівноваги однорідної рідини, коли з масових сил на рідину діє лише сила тяжіння (відсутня сила інерції рухомої рідини).

Хай рідина міститься в судині (рис.2.2) і на її вільну поверхню діє тиск р_о.

Рис. 2.2. До висновку основного рівняння гідростатики

Знайдемо величину гідростатичного тиску р в довільно узятій точці А, розташованій на відстані h від вільної поверхні. Для цього візьмемо елементарну горизонтальну площадку dS, центром якої є точка А, і побудуємо на цій площадці вертикальний циліндр висотою h. Розглянемо умову рівноваги цього об'єму рідини, для чого запишемо суму всіх сил, що діють на даний об'єм по вертикалі

pdS - podS - hdS = 0;	(2.2)
p = po + h .	(2.3)

Це і є основне рівняння гідростатики. Воно дозволяє обчислити тиск в будь-якій точці рідини, що знаходиться в стані спокою. З нього виходить, що шуканий тиск складається з тиску на вільній поверхні і тиску, обумовленого силою тяжіння вищерозміщених шарів рідини. Як видно з формули (2.3), тиск в рідині із зростанням глибини збільшується за лінійним законом. Позначивши через z координату т. А, через z_о - координату вільної поверхні рідини і замінивши h на z_о- z одержимо

(2.4)

Оскільки точка А узята довільно, то можна стверджувати, що для всього об'єму рідини, що знаходиться в стані спокою

(2.5)

Це інший вираз основного рівняння гідростатики. Координата z називається нівелірною висотою і за фізичним смислом є питомою енергією положення рідини. Величина має також лінійну розмірність і називається п'єзометричною висотою, а за фізичним смислом є питомою енергією тиску.

Таким чином, сума нівелірної і п'єзометричних висот або питомих енергій положення і тиску для будь-якої точки рідини, що перебуває у стані спокою, є величина постійна, і називається гідростатичним напором.