11. Способ перемены плоскостей проекции.

Сущность способа перемены (замены) плоскостей проекции заключается в том, что одну из плоскостей проекции ортогональной системы (П₁П₂) заменяют на новую (П₄), которая в совокупности с оставшейся (незаменяемой) плоскостью образует другую ортогональную систему плоскостей проекций. При этом новую плоскость проводят так, чтобы относительно неё проецируемый геометрический объект занял частное положение.

Механизм введения дополнительной плоскости.

П лоскость П₂ заменяем на новую плоскость П₄, расположенную к П₂, под углом не равным 90 (в данном случае этот угол выбран произвольно). При этом П₄ будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ и будет пересекать её по оси х₁. Точка проецируется на П₄, образуя новую проекцию А₄. Таким образом, будем иметь две системы плоскостей – старую П₁П₂ и новую П₁П₄ с общей плоскостью П₁. Расположение точки А относительно общей плоскости проекций не изменится, т.е координата z точки А остается постоянной в обеих системах.

12. Цилиндрические сечения.

При сечении цилиндра плоскостью можно получить различные фигуры сечения:

• Прямоугольник (фиг. а), если секущая плоскость параллельна оси вращения;

• Круг (фиг. б), если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения. Такое сечение называется нормальным сечением;

• Э ллипс (фиг. в), если секущая плоскость наклонена к оси вращения

13. Образование цилиндрических и конических поверхностей.

КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Коническая поверхность образуется движением прямой l (образующей) по некоторой кривой m (направляющей) и имеющей неподвижную точку S (вершину).

О пределитель поверхности (а, S) закон движения образующей: S l_i, l_i a.

На рисунке показано задание конической поверхности на ортогональном чертеже.

Если направляющая а – ломаная, то образуется пирамидальная поверхность.

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Ц илиндрическая поверхность образуется движением прямой линии l (образующей) по некоторой кривой m (направляющей) и имеющей постоянное направление S. Цилиндрическая поверхность является частным случаем конической, когда вершина S удалена в бесконечность.

Определитель цилиндрической поверхности может иметь два вида:

1. (а, l): l_i a; l_i l

2. (a, s): l_i a; l_i S .

На рисунке показано задание цилиндрической поверхности и дискретного каркаса образующих.

14. Проецирующие прямые.

П рямая называется проецирующей, если она перпендикулярна одной из плоскостей проекций. Одна из проекций такой прямой есть точка. Эта проекция называется главной или вырожденной. Все точки проецирующей прямой являются конкурирующими.

Горизонтально проецирующая прямая – прямая горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальной проекцией такой прямой является точка, а фронтальная и профильная проекции оси z.

Фронтально проецирующая прямая – прямая фронтальной плоскости проекций. Фронтальной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и профильная проекции оси y.

Профильно проецирующая прямая – прямая профильной плоскости проекций. Профильной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и фронтальная проекции оси x.

15. Построение линии пересечения двух пластин.

Линия пересечения двух плоскостей является прямой, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся плоскостям. Поэтому для построения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой или одну точку и направление линии пересечения.

А лгоритм построения:

1. Заключим прямую АС во фронтально-проецирующую плоскость, перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения плоскости с прямыми DE и DF - точки 1, 2;

2. На горизонтальной проекции соединим проекции точек 1 и 2 и найдем точку пересечения получившейся линии с горизонтальной проекцией прямой AC, получили точку M;

3. Заключим прямую BС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения плоскости с прямыми EF, DF - точки 3 и 4;

4. Соединим их горизонтальные проекции и получим точку пересечения этой прямой с прямой ВС - точку N;

5. Соединив точки M и N, получим линию пересечения плоскостей заданных треугольниками. Определяем видимость ребер треугольников методом конкурирующих точек.

16. Построение точки пересечения прямой с плоскостью.

Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.

Алгоритм решения задачи «Определение точки пересечения прямой с плоскостью»:

1. Отрезок прямой помещают в вспомогательную проецирующую плоскость (фронтально или горизонтально проецирующую);

2. Определяют линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;

3. Для построения точки пересечения необходимо найти 2 точки, одновременно лежащие на вспомогательной плоскости и на заданной;

4. Точка пересечения полученной линии с проекцией прямой будет искомой.

Алгоритм построения точки пересечения:

1. Н а П₁ проведем через заданную прямую а₁ вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость ₁: а и П₁.

2. Построим m₁ - линию пересечения вспомогательной плоскости α ₁ с заданной плоскостью ₁. Отметим точки 1₁ и 2₁ - точки пересечения прямой m₁ и отрезков А₁В₁ и В₁С₁ соответственно.

3. Построим фронтальную проекцию прямой m, учитывая принадлежность точек 1 и 2 сторонам треугольника АВС.

4. Находим точку К₂ - точку пересечения прямых m₂ и а₂: К₂=m₂ а₂.

5. По линии связи находим первую проекцию точки К - точку К₁.

6. Определяем видимость прямой а методом конкурирующих точек. На П₂, правая часть прямой а₂ (относительно точки _К2) - видима, а левая часть прямой а₂ - невидима. На П₁, левая часть прямой а₁ (относительно точки К₁) - невидима, а правая часть прямой а₁ - видима.

17. Следы прямой.

Следом прямой называется точка пересечения заданной прямой с плоскостью проекции.

Т очка М - точка пересечения прямой m с плоскостью П₁, т. е. точка М – горизонтальный след прямой m. Точки М₁ и М₂ - ортогональные проекции горизонтального следа прямой m.

Точка N - точка пересечения прямой m с плоскостью П₂, т. е. точка N - фронтальный след прямой m. Точки N₁ и N₂ - ортогональные проекции фронтального следа прямой m.

18. Способ совмещения плоскостей.

Способ совмещения - частный случай способа вращения, когда плоскость вращается вокруг одного из ее следов до полного совпадения (совмещения) с плоскостью проекций, в которой лежит этот след.

Отрезки линий и фигуры, лежащие в плоскости, и изобразятся на соответствующей плоскости проекций без искажения.

Плоскость общего положения Р может быть совмещена с главной картинной плоскостью П путем вращения около одного из своих следов.

О сновой для построения нового изображения служат: все точки плоскости перемещаются по окружностям, перпендикулярным оси вращения (соответствующему следу), длины отрезков, лежащих на перемещаемом следе, не изменяются после совмещения плоскостей Р и П₁.

Новое положение вращаемого следа определится из условия того, что сохраняется точка пересечения следов Р_х, и след проходит через фиксированную точку N.

С овмещенное положение точки N₂’ определяется из условия сохранения величин отрезков на вращаемом следе Р_хN= Р_хN₂’. При вращении плоскости общего положения Р вокруг горизонтального следа Р₁ на фронтальном следе P₂ фиксируется произвольная точка N. Ее горизонтальная проекция N₁ при вращении плоскости не изменит своего положения. Полагая, что ось преобразованного чертежа совпадет со следом Р₁ новая фронтальная проекция этой точки N’₂ найдется на линии связи перпендикулярной Р₁. При этом выполняется условие Р_хN₂= Р_хN’₂.

19. Задание плоскости общего и частного положения на эпюре.

На эпюре плоскость может быть задана:

1. проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;

2. прямой и точки, не лежащей на прямой;

3. пересекающимися прямыми;

4. параллельными прямыми;

5. проекцией плоской фигуры;

6. следами.