Вопросы к экзамену

1. Прямая. Перпендикулярные плоскости. Определение расстояния от точки до плоскости.

ПРЯМАЯ

Прямая — одно из основных понятий геометрии.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Свойства прямой: (в евклидовой геометрии)

• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• п рямые пересекаются – две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку;

• прямые параллельны – прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются;

• прямые скрещиваются – прямые в пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Две плоскости называют взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90 .

Две плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ (методом прямоугольного треугольника)

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

А лгоритм построения:

1. Строится перпендикуляр из точки K на плоскость (АВС): m₁ h₁, m₂ f₂.

2. Находится точка N - точка пересечения перпендикуляра m с плоскостью (АВС).

3. Определяется расстояние от точки K до точки N с помощью прямоугольного треугольника K₁N₁M₀. Длина гипотенузы N₁M₀ – это искомое расстояние: |KN| = N₁M₀.

Расстояние между параллельными плоскостями определяется длиной перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной плоскости до другой. Аналогично находится расстояние от плоскости до параллельной ей прямой. На прямой берется точка и находится расстояние до плоскости.

2. Пересечение плоскостей, следы которых не пересекаются в пределах чертежа.

Если заданы плоскости, одна или обе пары следов которых не пересекаются в пределах чертежа, следует воспользоваться одной или двумя вспомогательными плоскостями общего или частного положения, которые позволят легко найти линии пересечения с заданными плоскостями.

Алгоритм построения:

1. Пересечь непересекающиеся следы заданных плоскостей следом третьей, вспомогательной плоскости. В качестве вспомогательной может быть плоскость общего положения или проецирующая, которые бы пересекали оба следа каждой из плоскостей в пределах чертежа, или плоскость уровня.

2. Построить линии пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей.

3. Найти общую точку линий пересечения вспомогательной плоскости с заданными. Это одна из точек, принадлежащих линии пересечения заданных плоскостей.

4. Если вторая пара следов заданных плоскостей пересекается в пределах чертежа, то вторую точку на искомой линии пересечения обозначить. Это точка частного положения, т.к она лежит в плоскости проекций. Найти вторую проекцию это точки: она лежит на координатной оси.

Если же и для второй пары следов пересечения в пределах чертежа не найти, то нужно повторить данный алгоритм.

П ересечение фронтальных следов f”_o и f”_o позволяет обозначить фронтальную проекцию фронтального следа линии пересечения плоскостей N”. Ее горизонтальная проекция N’ лежит в проекционной связи на оси Ох.

Для определения второй точки на линии пересечения воспользуемся вспомогательной фронтальной плоскостью , ее след h’_{o γ} проходит параллельно оси Ох. Плоскость пересекается с плоскостью α по фронтали этой плоскости, фронтальная проекция которой проходит от M”₁ параллельно следу f”_oα. Аналогично линия пересечения плоскостей – фронталь плоскости , ее фронтальная проекция идет от M”₂ параллельно f”_o . Фронтальные проекции найденных линий пересечений пресекаются в точке K”. Ее горизонтальная проекция K’ лежит в проекционной связи на следе дважды проецирующей плоскости h’_{o γ}.

Точка K – общая для трех плоскостей .линия пересечения плоскостей определена двумя проекциями – N’K’ и N”K”.