- •Однородные системы
- •[Править]Пример
- •[Править]Неоднородные системы
- •[Править]Пример
- •Ранг системы векторов. Базис системы векторов
- •Алгоритм Гаусса для нахождения ранга и базиса системы векторов
- •Линейная независимость
- •[Править]Пример
- •[Править]Определение
- •[Править]Свойства
- •[Править]Значение
- •Подкольцо
- •Комплексное число
- •Определения
- •Стандартная модель
- •Матричная модель
- •Замечания
- •Действия над комплексными числами
- •Геометрическая модель
- •Связанные определения
- •Модуль и аргумент
- •Сопряжённые числа
- •Представление комплексных чисел Алгебраическая форма
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
- •История
- •10.1 Комплексные числа
- •10.1.1 Алгебраическая форма комплексных чисел
- •10.1.3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •10.3 Производная от функции комплексной переменной
- •10.4 Условия Коши-Римана
- •10.5 Интеграл от функции комплексной переменной
- •10.6 Интегральные формулы Коши
- •Определитель
- •[Править]Определение через разложение по первой строке
- •[Править]Определение через перестановки
- •[Править]Альтернативные методы вычисления
- •[Править]Свойства определителей
- •[Править]Алгоритмическая реализация
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Неприводимый многочлен
- •[Править]Определение
- •[Править]Свойства
- •[Править]Примеры
- •[Править]Связанные определения
- •[Править]Примеры
- •[Править]Свойства
- •[Править]История
- •Трисекция угла
- •[Править]Построения с помощью дополнительных средств
- •[Править]Трисекция угла при помощи невсиса
10.1 Комплексные числа
В математике большую роль играют так называемые обратные операции, необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов имеющихся объектов.
Например, операция сложения. Когда-то люди не знали отрицательных чисел. Складывая положительные числа, в ответе всегда получались положительное число. Но обратная операция – вычитание – привела к необходимости рассматривать числа отрицательные.
Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем также целые числа. Обратная операция – деление -приводит нас к необходимости рассматривать дробные, рациональные числа.
Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда также число рациональное. Но обратная операция – извлечение квадратного корня – приводит к иррациональным числам ( , например, не является рациональным числом).
Но та же самая операция извлечения квадратного корня дает и еще один класс чисел. Как известно, квадрат любого рационального числа есть число неотрицательное. Поэтому и квадратный корень можно извлечь только из неотрицательных чисел (например, ). А как быть с ? Чему он равен? Ведь нет такого рационального числа, квадрат которого был бы равен – 9.
Но, как говорится, если нельзя, но очень хочется, то можно. И желание извлекать корни из отрицательных чисел привело к новому классу чисел, называемых комплексными числами. Для их рассмотрения оказалось достаточным ввести всего лишь одно новое число
,
которое называется мнимой единицей. Считается, что это «число» обладает всеми свойствами обычных чисел и имеет всего одно единственное новое свойство
,
так что, например, . Числа, содержащие i, называются комплексными числами. Без них немыслима современная математика.
10.1.1 Алгебраическая форма комплексных чисел
Пусть x и y – обычные числа. Число вида
z=x+iy
называется комплексным числом в алгебраической форме.
x называют вещественной или действительной частью числа z и обозначают так: ; y называют мнимой частью числа z и обозначают так: . Число называют комплексно сопряженным числу z. Действует следующее общее правило: «чтобы получить число, комплексно сопряженное данному, надо в нем заменить i на –i ».
Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме. Пусть даны два комплексных числа и .
Равенство и сравнение комплексных чисел.
Два комплексных числа считаются равными, если у них равны вещественные и мнимые части:
.
Но вот операции типа «больше» и «меньше» для комплексных чисел не имеют смысла, то есть бессмысленно писать или . Совершенно непонятно, что больше или . Комплексные числа не упорядочены.
Сложение и вычитание.
Сложение и вычитание двух комплексных чисел определяются совершенно естественно
,
то есть надо сложить (или вычесть) отдельно вещественные и мнимые части чисел.
Умножение.
Умножение двух комплексных чисел производится как умножение обычных чисел, надо лишь помнить, что :
.
Деление.
Для деления комплексных чисел полезно запомнить следующее правило: чтобы разделить два комплексных числа друг на друга надо числитель и знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное знаменателю. Тогда легко получить, что
.
10.1.2 Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Рис. 10.1 Геометрическая интерпретация комплексного числа
Пусть имеется комплексное число . Возьмем на плоскости декартову систему координат и комплексному числу z поставим в соответствие точку на этой плоскости с координатами (x, y) (см. рис. 10.1). Таким образом, геометрически комплексные числа – это точки на плоскости (вспомните, что вещественные числа – это точки на числовой оси). Саму плоскость называют плоскостью комплексной переменной z.