1)Основные понятия комбинаторики.Комбинаторика изучает количество комбинаций подчиненных определенным условиям, которые можно состаить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечноого множества. При непосредственном вычислении вероятности часто используют формулы комбинаторики. 1)"Престановками" называют комбинации, сост из одних и тех же n различн эл-тов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn=n! 2)"Размещениями" называют комбинации, сост-е из n различн эл-тов по m эл-тов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Amn=n*(n-1)*(n-2)...(n-m+1) 3)"Сочетанием" наз-т комбинации, сост-е из оазличных эл-тов по m эл-тов, кот. отличаются хотя бы одном эл-том. Число сочетаний Cmn=n!/(m!(n-m)!) Подчеркиваем, что числа размещений, перестановок и сочетаний свызаны равенством Amn=Pm*Cmn 

2) Бином Ньютона. Формула бинома Ньютона имеет вид   где   - биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из n по k элементов, k = 0, 1, 2, …, n. (! – это знак факториала). К примеру, известная формула сокращенного умножения квадрат суммы   есть частный случай бинома Ньютона при n = 2, так что мы ведем разговор не об абстрактных вещах, а о постоянно используемой формуле. Выражение   называют (k+1)-ым членом разложения. Например, в рассмотренной формуле квадрат суммы первым членом разложения является  , вторым членом  , третьим  .Формула бинома Ньютона  ; ; ; ; ; ;

3)классическое определение вероятности. Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения. С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, Р (A) = m / n = n / n = 1. С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, Р (А) = m / n = 0 / n = 0.С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1 Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 <= Р (A) < 1. Элементы теорий вероятности В предыдущих главах были рассмотрены эмпирические распределения и методы вычисления их числовых характеристик. Но обработка экспериментальных данных не ограничивается рассмотренными методами. Обычно исследователь, получив данные эксперимента на одной или нескольких группах испытуемых и определив по ним некоторые обобщающие числовые характеристики (среднее, стандартное отклонение и др.). пытается найти ответ на следующие вопросы: насколько точно полученные результаты можно обобщить для более широкой совокупности (например, на всех жителей данного возраста)? Как хорошо его данные согласуются с данными других исследователей? Насколько достоверно различие экспериментальных данных, полученных в разных группах испытуемых или в одной и той же группе, но в разные промежутки времени? Существует ли связь между различными признаками, изучаемыми в проводимом исследовании, и если да, то насколько она сильна? В ряде случаев исследователь пытается установить такую экспериментальную зависимость между изучаемыми признаками, чтобы по значениям одного из них, легко поддающегося измерению, установить значение другого, измерить который трудно или невозможно. Конечно, в зависимости от целей конкретного исследования задачи могут быть различными и не ограничиваются приведенным перечнем. Методы математической статистики, с помощью которых можно получить ответы на поставленные выше вопросы, рассматриваются в следующих главах. Чаще всего эти методы основаны на использовании тех или иных согласующихся с условиями проводимого эксперимента математических моделей, разработанных теорией вероятностей. В данной главе рассматриваются некоторые ее элементарные, положения в том минимальном объеме, который необходим для дальнейшего изложения.

4) Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;

• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;

• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма. Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

• числовые последовательности;

• временные ряды как числовой, так и не числовой природы;

• последовательности элементов метрического пространства

• последовательности элементов функционального пространства

• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

[Править]Определение

Пусть задано некоторое множество   элементов произвольной природы. | Всякое отображение   множества натуральных чисел   в заданное множество   называется последовательностью (элементов множества  ).

Образ натурального числа  , а именно, элемент  , называется  -ым членом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности — её индексом.

Предел последовательности В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности. Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера. ЧИСЛО e. Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e^–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно log_e 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. 

5) Предел функции в точке промежутке Пусть функция f(x)определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x - a| < δ, справедливо неравенство: |f(x )- A |< ε. Имеют место два замечательных предела:

1) 

2)

6) теоремы о пределах функции Функцией, определённой на множестве Е со значениями в множестве F называется правило f, в соответствии с которым каждому элементу х из множества Е (х   Е) ставится в соответствие определённый элемент у из множества F (у   F). В этом случае пишут f: E → F, или у = f (х). Элемент х   Е называется аргументом функции, элемент у   F называют значением функции. Понятие множества считается интуитивно ясным. Множество задаётся правилом, согласно которому устанавливается, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.   Определение. Точка х₀ = а   Е называется точкой сгущения множества А   Е, если произвольная окрестность точки х₀ содержит хотя бы одну точку множества А, отличную от х₀. Сама точка х₀ может принадлежать множеству А или не принадлежать.    Число А называется пределом функции f (х), если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от ε число δ >0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х₀| < δ выполняется неравенство | f (х) – А | < ε.   Используя логические символы, это определение можно записать в виде

(   ε > 0 ) (   δ = δ (ε) > 0 ) (  0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) – A | < ε

  Определение. Окрестность точки х₀  (а, b) называется выколотой, если из неё удалена сама точка х₀.   Вышеприведённое определение функции в точке в этом случае можно перефразировать так: для любой как угодно малой ε - окрестности числа А существует такая выколотая δ - окрестность точки х₀, что для всех значений аргумента из этой выколотой δ - окрестности точки х₀ значения функции будут находиться в ε - окрестности числа А.   В связи с тем, что числовая ось задаёт взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками числовой оси, для нас понятие действительного числа и точки числовой оси будут синонимами.

7) непрерывные функции в точке и на промежутке Определение 1. Пусть функция   определена в окрестности точки  , тогда функция непрерывна в  , если  .

Определение 2. Функция   непрерывна, если .

Определение 3. Функция   непрерывна в точке  , если  .Приращение аргумента  . Приращение функции  .

Определение 4. Функция   непрерывна в точке  , если  . Если функция не является непрерывной в точке  , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).

 

Определение 5. Функция   непрерывна в точке   справа, если  .

Определение 6. Функция   непрерывна в точке   слева, если  .

Функция непрерывна на отрезке  , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.

Теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).

Доказательство:

Пусть   и  .

Тогда  .

Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.

Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:

Функция   непрерывна в точке  , если g(x) непрерывна в точке  и f(y)непрерывна в  .

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

8) решение неравенств методом интервалов Рассмотрим неравенство вида f x 0 , где символ   можно заменить одним из знаков сравнения:  и f x  - рациональное выражение областью определения, которой является множество действительных чисел.

Для решения неравенств методом интервалов необходимо:

а) Разложить выражение f x   на множители канонического вида (количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной должны быть положительными). Пусть, например, f x = x−a x−b x−c x−d  , где D f = − ;+  .

Замечание: если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, не четное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.

б) Найти все корни выражения, решив уравнение f x =0 . В нашем случае будут корниx=a x=b x=c x=d.

в) Отметить на числовой оси корни уравнения в порядке возрастания. Мы отмечаем числа a b c d. Пусть для удобства b a c d. Эти числа разбивают числовую ось на 5 интервалов. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет знак, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.

г) Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак <+> и далее знаки чередуются.

д) Выписать ответы неравенства в виде интервалов по схеме:

• Если f x 0 , то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение f x   сохраняет знак <->, а граничные точки интервалов не входят в ответ, так как знак сравнения неравенства строгий. В нашем случае ответ x b;a c;d  .

• Если f x 0 , то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение f x   сохраняет знак <+>, а граничные точки интервалов не входят в ответ, так как знак сравнения неравенства строгий. В нашем случае ответ x − ;b a;c d;+  .

• Если f x 0 , то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение f x   сохраняет знак <->, а граничные интервалов точки входят в ответ, так как знак сравнения неравенства не строгий. В нашем случае ответ x b;a c;d  .

• Если f x 0 , то ответом считаем, объединение интервалов, на которых выражение f x   сохраняет знак <+>, а граничные точки интервалов входят в ответ, так как знак сравнения неравенства не строгий. В нашем случае ответ x − ;b a;c d;+  .

9) Определение производной Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δ t равна   Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δ t , тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v : это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δ t  → 0, то есть 

 График 3.1.1.1. Рассмотрим поведение графика функции y  = sin  x в окрестности точки x  = 0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y  =  x .

Эти и другие задачи приводят к понятию производной.

физическом смысле. Странно, но определение того, что такое "физический смысл" отсутствует. Известно, что смысл бывает разный. Перечислю только философский, физический, математический, житейский (бытовой), финансовый. Что же имеют ввиду, когда говорят о физическом смысле? Ведь, надо думать, не просто так говорят. Физический смысл выясняют, устанавливают, ищут и находят или не находят. У чего же его выясняют и так далее? Например, у так называемых физических величин, у уравнений, связывающих эти величины и у их решений. Что же ищут при рассмотрении этих, вообще говоря, абстрактных категорий, несмотря на то, что у этого искомого даже определения нет? Выскажу свой взгляд. Начну с того, что напомню, что физика занимается изучением материи, материального мира, или, как иногда говорят, мира косной материи. Косной – значит существующей объективно и существующей по некоторым универсальным и, главное, не зависимым от сознания человека законам. Физику интересует, таким образом, исключительно материальная сторона наблюдаемых явлений. 

10) теоремы о производной суммы произведения частного двух функций Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

11) производные элементарных функции Ключевые слова: элементарная функция, производная синуса, производная косинуса. производная тригонометрической функции. производная обратной тригонометрической функции

Функция y = f(x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f(kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y=xn	y =n xn−1	y=(kx+b)n	y =n k (kx+b)n−1
y = x	y =1	y=(kx+b)	y =k
y= x	y =12 x	y= kx+b	y =k 12 kx+b
y=x1	y =−1x2	y=1kx+b	y =−k 1(kx+b)2
y = cos x	y =−sinx	y = cos (kx +b)	y =−ksin(kx+b)
y = sin x	y =cosx	y = sin (kx +b)	y =kcos(kx+b)
y = tg x	y =1cos2x	y = tg (kx +b)	y =k 1cos2(kx+b)
y = ctg x	y =−1sin2x	y = ctg (kx +b)	y =−k 1sin2(kx+b)
y = arcsin x	y =1 1−x2	y = arcsin (kx +b)	y =k 1 1−(kx+b)2
y = arccos x	y =−1 1−x2	y = arccos (kx +b)	y =−k 1 1−(kx+b)2
y = arctg x	y =11+x2	y = arctg (kx +b)	y =k 11+(kx+b)2
y = arcctg x	y =−11+x2	y = arcctg (kx +b)	y =−k 11+(kx+b)2
y=ax a 0 a =1	y =ax lna a 0 a =1	y=akx+b a 0 a =1	y =k akx+b lna a 0 a =1
y=ex	y =ex	y=ekx+b	y =k ekx+b
y=logax a 0 a =1	y =1x lna	y=loga(kx+b) a 0 a =1	y =k 1(kx+b) lna
y = lnx	y =x1 x 0	y = ln(kx +b)	y =k 1kx+b kx+b 0

12)геометрический смысл производной Ключевые слова: геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где   - угол наклона секущей AB.  Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.  Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.  Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: