- •1.Вычисление площадей плоских фигур.
- •2.Вычисление длины дуги кривой.
- •3.Вычисление объема тел.
- •4.Определение двойного интеграла.
- •5.Вычисление двойного интеграла.
- •6.Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле.
- •7.Тройной интеграл.
- •8.Криволинейная система координат.
- •11.Криволинейный интеграл 1-го рода.
- •13.Криволинейный интеграл 2-го рода.
- •14.Зависимость криволин. 2-го рода от ориентации кривой.
- •15.Определения:
- •19.Потенциал векторного поля.
- •18.Условия потенциальности векторного поля.
1.Вычисление площадей плоских фигур.
1.f(x)>=0 x[a,b],то abf(x)dx=S
2.S=acf(x)dx+cbf(x)dx=abf(x)dx
3.S=abf2(x)-abf1(x)dx=ab[f2(x)-f1(x)]dx
4.частный случай:
Y=f1(x)
Y=f2(x)
5.S=ab[f2(x)+|AB|-f1(x)-|AB|]dx=ab[f2(x)-f1(x)]dx
2.Вычисление длины дуги кривой.
Пусть дана кривая y=f(x) на [a;b], f(x)-непрерывна на [a;b].Требуется найти длину этой кривой.
Заменяем прямую вписанной ломаной.
Разобьем кривую точками на n частей. Абциссы этих точек дают разбиение Т:a=x0<x1<..<xi-1<xi<..<xn=b
Длина отрезка [Mi-1Mi]по теореме Пифагора:∆li=(xi-xi-1)2+(yi-yi-1)2=∆x2i-∆y2i=1+(∆yi/∆xi)2∆xi
Длина всей ломаной АВ равна:
L= i
Для приведения l к интегральной сумме f(fi;)применим х в формулу Лагранжа: ∆y=f/(;∆x)
∆yi/∆xi=f/(i)=y/(i)n, i[xi-1;xi]
L=т(fi,i)= i
-max∆x
L= i
L=ab1+(y/)2dx,y=y(x) или y=f(x)
Пусть плоская кривая задана параметрически уравнениями:
x=x(t),y=y(t),где t[t1,t2]
x=x(t) x=a,t=t1
dx=x/(t)dt x=b,t=t2
y/=y/t/x/t
подставляем в формулу:
l=ab1+(y/x)dx=ab1+(y/t)2/(x/t)2*x/tdt=
=t1t2((x/t)2+(y/t))/x/t*x/tdt=t1t2(x/t)2+
+(y/t)2
l=t1t2(x/t)2+(y/t)2dt, x=x(t)
y=y(t),t[t1,t2]
Для кривой в пространстве:
l=t1t2(x/t)2+(y/t)2dt, x=x(t)
y=y(t),t[t1,t2]
Кривая,заданная в полярных координатах:
Формулы перехода: x=cos
y=sin
пусть кривая на плоскости описывается уравнениями,заданными в полярной системе координат:=(),α<β
будем рассматривать такую кривую,как кривую,заданную параметрически с параметром t=,тогда l=αβ(x/)2+(y/)2d
вместо x и y подставим формулы перехода: x=()cos
y=()sin
x/=/()cos-()sin
y/=/()sin+()cos
(x/)2=(/cos-sin)2=(/)2cos2- 2/cossin+sin2*2
+ (y/)2=(/sin-cos)2=(/)2sin2-2/sincos+cos2*2
(x/)2+(y/)2=(/)2+2,подставляем в формулу длины:
l=αβ(/)2+2d, =()
[α;β]
Формулы дифференциалов длины дуги кривой.
Если y=y(x),то dl=1+(y/)2dx
x=x(t)
y=y(t) ` dl=(x/t)2+(y/t)2dt
x=x(t)
y=y(y)
z=z(t) dl=(x/t)2+(y/t)2+(z/t)2dt
=(), dl=(/)2+2d
3.Вычисление объема тел.
Пусть тело ограничено с торцов плоскостями x=a и x=b и пусть известна площадь сечения тела плоскостями, перпендикулярной оси ОХ в любой точке х[a;b] S(x):
1.разобъем [a;b] точками на n частей
2.на каждом отрезке ∆i разбиения выберем произвольную точку i∆i
3.через i проведем плоскость x=iOX и вычислим площадь сечения S(i)
4.на каждом отрезке ∆I заменяем тело прямым круговым цилиндром,объем которого ∆Vi=S(i)*∆xi
т=(S, i)= =
V=abS(x)dx
Частный случай:объем тела вращения,т.е. тело,образрванного вращением кривой y=y(x) axb вокруг оси ОХ
S(x)=y2(x)
V=aby2(x)dx
4.Определение двойного интеграла.
Число I называется двойным интегралом от f(x,y) на Di,если для любого >0 существует такое ()>0,что для любого разбиения Т обл.D такого,что <(),и для любой выборки ,справедливо неравенство:
|т(f,)-I|<
Обозначим: Df(x,y)dS=Df(x,y)dxdy=I
Кратко:I=
Св-ва двойного интеграла:
1.Линейности: если существует двойной интеграл от ф-ции af1(x,y)+bf2(x,y) на обл.D,то
D(af1(x,y)+bf2(x,y))dS=aDf1(x,y)dS+bDf2(x,y)dS,где a и b-постоянные.
2.Разбиения области:если D=D1D2,D1=,то
Df(x,y)dS=D1f(x,y)dS+D2f(x,y)dS
3.Если (x,y)D,f1(x,y)≥f2(x,y),то
Df1(x,y)dS≥Df2(x,y)dS
4.| Df(x,y)dS|D|f(x,y)dS
5.Теорема о среднем:если f(x,y)-определена и непрерывна в D,то существует такая точка MD,что
Df(x,y)dS=f(M)S,где S-площадь D