18. Задача с неравенствами. Обобщенное правило Лагранжа.

Пусть дана задача: (1)

Теорема 2. Пусть – локально-оптимальный план задачи (1). Тогда найдётся такой обобщённый вектор Лагранжа , что

1.

2. , не все равные нулю

3.

Доказательство.

1. Пусть – локально-оптимальный план задачи (1). Тогда справедлива теорема 1, то есть, несовместна система неравенств (2)-(3). Применим к ней теорему Фаркаша о несовместности системы неравенств. Согласно теореме найдутся такие числа , не все равные нулю, что будет выполняться условие

(4)

Положим тогда остальные =0, и, добавив в (4) нулевые слагаемые, получим:

(5)

Это и есть условие стационарности (1).

2. Условие неотрицательности следует из теоремы Фаркаша.

3. Для получаем:

, так как по определению.

Для получаем:

, так как =0 по предположению.

Ч.т.д.

19. Задача с неравенствами. Классическое правило Лагранжа.

Пусть дана задача: (1)

Определение. Пусть – некоторый план задачи (1). Будем называть его обыкновенным, если вектора

(6)

линейно независимы.

Теорема 3. Пусть – обыкновенный локально-оптимальный план задачи (1). Тогда необходимо найдётся такой классический вектор Лагранжа , причём единственный (он может быть нулевым), что выполняется условие:

1.

2.

3. .

Определение. Задачу (1) будем называть нормальной, если оптимальный план у неё обыкновенный.

Большинство задач вида (1) являются нормальными. Более того, у большинства задач вида (1) все планы обыкновенные. В частности, ясно, что любой внутренний план является обыкновенным.

Определение. Решение системы будем называть условно-стационарной точкой задачи (1).

Для нормальных задач принцип Лагранжа можно переформулировать:

Если – локально-оптимальный план, то его нужно искать среди условно-стационарных точек задачи (1).

В случае линейных ограничений, то есть когда нетрудно доказать, что всегда справедливо классическое правило множителей Лагранжа без предположения обыкновенности .

20. Задача с неравенствами. Условия 2 порядка.

Пусть дана задача: (1)

Определение. Пусть пара – условно-стационарная точка задачи (1). Тогда ое ограничение задачи активное на будем называть жёстким, если и мягким или нежёстким, если .

Обозначим , .

Ясно, что .

Теорема 4 (Необходимое условие оптимальности второго порядка). Пусть −обыкновенный локально-оптимал. план зад.(1), − соответствующий ему классический вектор Лагранжа. То для любого вектора , удовлетвор-щего с-ме

квадратичная форма .

Теорема 5 (Достаточное условие оптимальности второго порядка). Пусть – условно-стационарная точка задачи (1), то есть решение системы . Тогда, если для любого вектора , и удовлетворяющего системе квадратичная форма , то – локально-оптимальный план задачи(1).

Теоремы 4 и 5 можно использовать для исключения точек, подозрительных на решение зад.(1), но не являющихся оптимал.

Замеч. Если рассм. зад. , то для неё теоремы 4 и 5 справедливы без предположения обыкновенности . Если рассм. задачу со смешанными ограничениями , то можно сформулировать принцип Лагранжа и условия оптимальности второго порядка простым совмещением результатов последних двух параграфов.