7. Средняя арифметическая и ее свойства.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая применяется, когда значение вариантов встречается по одному числу раз.

Средняя арифметическая взбешенная применяется, когда отдельное значение призна­ка повторяется неодинаковое количество раз, т.е. она используется в расчетах средней по 2

сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными и интервальными.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необхо­димых вычислений переходят о интервалов к их серединам.

Свойства средней арифметической

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов

на соответствующие им частоты:

2. Свойство для отклонений:

сумма отклонений вариант от средней арифметической равно нулю:

3. Свойство для вариант:

если все осредняемые уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

5. Свойство для частот:

если частоты (веса) ряда увеличить или уменьшить на произвольное число, то средняя ариф­метическая от этого не изменится:

4. Если варианту увеличить или уменьшить в какое-то число раз, то в то же число раз увеличится или уменьшится среднее арифметическое:

6. Если веса или частоты всех вариант равны между собой, то средняя арифметическая взве­шенная будет равна средней арифметической простой:

Знание основных свойств средней арифметической позволяет упростить ее вычисление особенно для вариационного ряда с равными интервалами, т.е. способом моментов:

где i- интервал,

х - серединное значение интервала,

А - условная величина,

f - частота признака. За (А) условную величину принимают варианту, занимающую серединное положение в данном ряду и имеющую наибольшую частоту.

Доминирующее серединное положение в ряду:

Серединное т] из значений (х-А) / i называется моментом первого порядка.

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. Например, общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат отдельных работников, общее число рабочих в промышленности – это сумма их численностей на отдельных промышленных предприятиях, общий сбор урожая – сумма урожаев с каждого гектара площади и т.д.

При исчислении средней арифметической выполняют две операции:

• суммируют индивидуальные значения признаков

• полученную сумму делят на число значений

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая может быть рассчитана по формуле простой или взвешенной средней.

Если исходные данные не систематизированы, то применяется формула простой средней арифметической.

Если исходные данные сгруппированы и представлены весами (частотами), т.е. с числом единиц, имеющих одинаковые значения признака, то среднюю арифметическую исчисляют по формуле взвешенной средней.

При расчете средней арифметической взвешенной:

• необходимо умножить варианты на все ;

• сложить полученные произведения;

• сложить веса (частоты);

• сумму произведений вариант на веса разделить на сумму весов.

Обычно средняя арифметическая исчисляется по формуле взвешенной средней. Простую среднюю используют только в тех случаях, когда у каждой варианты частота равна единице или если частоты у всех вариант равны друг другу.

Принято различать три основных приема расчета средней арифметической:

• если статистические данные по индивидуальным значениям признака, полученные из наблюдения не упорядочены, то техника вычисления средней арифметической сводится к суммированию варианта и делению полученной суммы на число вариант варьирующего признака. Используется формула средней арифметической простой. В тех случаях, когда варианта повторяется и это выражено частотами, применяют формулу средней арифметической взвешенной.

• Если исходные данные представлены общей суммой значений варьирующего признака и численностью единиц совокупности то общий объем признака делится на число единиц совокупности. Такого рода данные имеются в периодической статистической отчетности.

В этом случае необходимо проверить, соответствует ли объем признака численности единиц совокупности. Ведь объем осредняемых признаков часто являются самостоятельными категориями и показателями (например, фонд заработной платы), которые подсчитываются независимо от расчета средних величин. Поэтому прежде чем исчислить среднюю, необходимо проверить выполнение вышеуказанного требования.

Более того можно привести немало примеров, когда каждое отдельное значение признака вовсе не фиксируется по тем или иным причинам. Так, иногда не подсчитывается урожайность на каждом отдельном гектаре площади, занятой той или иной культурой, но средняя для всей площади урожайность является одним из важных показателей продуктивности земледелия; никогда не подсчитывается, сколько валовой продукции произвел тот или иной рабочий.

Такие средние по способу расчета и по своему аналитическому значению мало отличаются от относительных величин интенсивности.

По-видимому, хотя выше говорили о том, что между средними и относительными величинами есть разница, но в то же время средняя – это отношение двух абсолютных величин, т.е. по сути относительная величина. Только средняя эта должна иметь отношение к любой единице совокупности. Относительная величина этим свойством не обладает.

• Среднюю арифметическую вычисляют на основе вариационных рядов. Для расчета средней в дискретных рядах варианты (значения которых известно) нужно умножить на частоту и сумму произведений разделить на сумму частот.