Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ

кафедра математики и математических методов в управлении

Самостоятельная работа

по математике

на тему «Вариационный ряд и его характеристики»

для студентов очного отделения факультета «Экономика и менеджмент»

направления подготовки «Управление персоналом»

Орел, 2012

Цель работы: Освоение понятий математической статистики и приемов первичной обработки данных.

Пример решения типовых задач.

Задача 1.

Путем опроса получены следующие данные ( ):

1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6

3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5

3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3 5

Необходимо:

1) Составить вариационный ряд (статистическое распределение выборки), предварительно записав ранжированный дискретный ряд вариантов.

2) Построить полигон частот и кумуляту.

3) Составить ряд распределения относительных частот (частостей).

4) Найти основные числовые характеристики вариационного ряда (использовать упрощенные формулы для их нахождения): а) среднюю арифметическую , б) медиану Ме и моду Мо, в) дисперсию s², г) среднее квадратическое отклонение s, д) коэффициент вариации V.

5) Пояснить смысл полученных результатов.

Решение.

1) Для составления ранжированного дискретного ряда вариантов отсортируем данные опроса по величине и расположим их в порядке возрастания

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 6 6 6 7 7.

Составим вариационный ряд, записав в первую строку таблицы наблюдаемые значения (варианты), а во вторую соответствующие им частоты (таблица 1)

Таблица 1.

Варианты xi	0	1	2	3	4	5	6	7	∑
Частота ni	4	13	14	24	16	4	3	2	80
Накопленная частота niнак	4	17	31	55	71	75	78	80	-

2) Полигон частот представляет собой ломаную, соединяющую точки (х_i; n_i), i=1, 2,…, m, где m – число различных значений признака X.

Изобразим полигон частот вариационного ряда (рис. 1).

Рис.1. Полигон частот

Кумулятивная кривая (кумулята) для дискретного вариационного ряда представляет ломаную, соединяющую точки (х_i; n_i^нак), i=1, 2,…, m.

Найдем накопленные частоты n_i^нак (накопленная частота показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака меньшим х). Найденные значения заносим в третью строку таблицы 1.

Построим кумуляту (рис. 2).

Рис.2. Кумулята

3) Найдем относительные частоты (частости) , где , где m – число различных значений признака X, которые будем вычислять с одинаковой точностью.

Запишем ряд распределения относительных частот (частостей) в виде таблицы 2

Таблица 2

Варианты xi	0	1	2	3	4	5	6	7	∑
Частость wi	0,0500	0,1625	0,1750	0,3000	0,2000	0,0500	0,0375	0,0250	1
Накопленная частость wiнак	0,0500	0,2125	0,3875	0,6875	0,8875	0,9375	0,9750	1,0000

4) Найдем основные числовые характеристики вариационного ряда:

а) Среднюю арифметическую найдем, используя упрощенную формулу:

,

где - условные варианты

Положим с = 3 (одно из средних наблюдаемых значений), k = 1 (разность между двумя соседними вариантами) и составим расчетную таблицу (табл. 3).

Таблица 3.

xi	ni	ui	ui ni	ui2 ni
0	4	-3	-12	36
1	13	-2	-26	52
2	14	-1	-14	14
3	24	0	0	0
4	16	1	16	16
5	4	2	8	16
6	3	3	9	27
7	2	4	8	32
Сумма	80		-11	193

Тогда средняя арифметическая

б) Медианой Ме вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. Данный дискретный вариационный ряд содержит четное число членов (n=80), значит, медиана равна полусумме двух серединных вариантов.

Модой Мо вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота. Для данного вариационного ряда наибольшая частота n_max = 24 соответствует варианту х = 3, значит мода Мо=3.

в) Дисперсию s², которая является мерой рассеяния возможных значений показателя X вокруг своего среднего значения, найдем, используя упрощенную формулу:

, где u_i – условные варианты

Промежуточные вычисления также занесем в таблицу 3.

Тогда дисперсия

г) Среднее квадратическое отклонение s найдем по формуле:

.

д) Коэффициент вариации V: ( ),

Коэффициент вариации является безмерной величиной, поэтому он пригоден для сравнения рассеяния вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

Коэффициент вариации

.

5) Смысл полученных результатов заключается в том, что величина характеризует среднее значение признака X в пределах рассматриваемой выборки, то есть среднее значение составило 2,86. Среднее квадратическое отклонение s описывает абсолютный разброс значений показателя X и в данном случае составляет s ≈ 1,55. Коэффициент вариации V характеризует относительную изменчивость показателя X, то есть относительный разброс вокруг его среднего значения , и в данном случае составляет .

Ответ: ; ; ; .