7. Однофакторная линейная регрессионная модель.
Рассмотрим однофакторную линейную модель ,которая использует корреляционно-регрессионный анализ.
Корреляционно-регрессионный анализ в целом решает 3 задачи:
- определяет формы связи результативного признака с факторным;
- выявляет тесноту этой связи;
- устанавливает характер влияния этих факторов.
Она выражается в линейной функции вида: y = a0 +a1x1
П
араметры
a0
и a1
находятся в результате решения системы
нормальных уравнений , которые в свою
очередь формируются на на основе МНК.
Система нормальных уравнений имеет
вид:
a0 *m +a1*∑x1=∑y
a0*∑x1+ a1*∑x21=∑x1y ; где суммирование проходит по всем n-числам наблюдения.
Направление связи между y и x1 определяет знак коэффициента регрессии a1. Теснота связи определяется коэффициентом корреляции и вычисляется следующим образом:
ryx1=(под корнем) 1- Syx1/Sy2;где Sy- среднеквадратическая ошибка выборки y.
Sy=(под корнем)∑(y-ỹ)2/n ;где ỹ- среднее арифметическое y.
Syx1==(под корнем)∑(y-y*)2/n-2;
Syx1- среднеквадратическая ошибка уравнения ,для числа степеней свободы n-2;
y*-соответствующее значение расхода на питания.
Коэффициент регрессии а1 нельзя использовать для непосредственного оценивания влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения изучаемых показателей
Для этих целей применяется коэффициент эластичности:
Эух1=а1*
1/
,Он
показывает на сколько % изменился
результативный признак у
при изменении факторного признака на
1%.
βух1=а1*S1/Sy;
Sx1 =(под корнем)(x+ 1)2/n
Sx1 и Sy - среднеквадратические выборки величин х1 и у.
β – коэффициент показывает на какую часть величины среднеквадратического отклонения изменится среднее значение результативного признака при изменении значения его фактического признака на величину его среднеквадратического отклонения.
8. Двухфакторная линейная регрессионная модель.
Двухфакторнуя линейную модель использует множественный коэффициент корреляции.
Множественный коэффициент корреляции характеризует также многие параметры этой модели, а корреляционно-регрессионный анализ в целом решает 3 задачи:
- определяет формы связи результативного признака с факторным;
- выявляет тесноту этой связи;
- устанавливает характер влияния этих факторов.
Двухфакторную линейную модель имеет вид: y = a0 +a1x1+а2х1
Параметры a0,a1,а2 –находятся путём решения следующей системы нормальных уравнений:
a
0
n
+a1∑x1+a2∑x2=∑y
a0∑x1+ a1∑x21+ a2∑ x1* x2=∑x1y
a0∑x2+ a1∑ x1* x2+ a2∑ x22=∑x2y
для определения тесноты связи между параметрами вычисляем парные коэффициенты корреляции: ryx1 , ryx2 ,rx1x2;
ryx1= 1- 1* /SySx
Sy1,Sx –среднеквадратические ошибки выборок. Аналогично записываются формулы ,ryx2 ,rx1x2.
После этого вычисляется коэффициент множественной корреляции:
Ryx1,x2 =(под корнем)r2yx1+ r2yx2+2 ryx1* ryx2*rx1x2/1-(rx1x2)2
Он колеблется от 0 до 1. Чем ближе k 1,тем больше учтены факторы, влияющие на результативный признак.
Квадрат коэффициента корреляции носит названия коэффициента детерминации и характеризует собой долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных признаков(R2yx1x2).
Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменяемом решении при изменении частных коэффициентов корреляции .
Здесь используется парные коэффициенты корреляции :
ryx1(x2)= ryx1- ryx2*rx1x2/(под корнем) (1-r2yx2)* (1-r2x1x2)
Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть также охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности.
Эух1(х2)=а1* 1/ ; Эух2(х1)=а2* 2/ . Он показывает на сколько % изменился результативный признак у при изменении факторного признака на 1%.
При анализе двухфакторных моделей аналогично однофакторных используются β коэффициенты.
βух2(х1)=а2*Sх2/Sy;
β – коэффициент показывает на какую часть величины среднеквадратического отклонения изменится среднее значение результативного признака при изменении значения его фактического признака на величину его среднеквадратического отклонения.