- •1. Неопределённый интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределенного интеграла
- •2. Таблица основных неопределённых интегралов
- •3. Замена переменной в интеграле. Примеры.
- •4. Интегрирование по частям. Примеры
- •5. Определённый интеграл и его геометрический смысл.
- •6. Основные свойства определенного интеграла
- •7. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •8. Вычисление площадей плоских фигур
- •9. Вычисление длины дуги
- •10. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл первого рода)
- •11. Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода.
- •12. Несобственный интеграл второго рода. Примеры
- •14. Множества в Rn. Основные понятия и определнения.
- •16. Понятие функции нескольких переменных. Примеры.
- •17. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
- •19. Частные производные фнп
- •24. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Свойства инвариантности
- •25. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •26. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •27. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •28. Экстремум функции двух переменных
1. Неопределённый интеграл и его свойства.
Определение 1.2. Совокупность всех первообразных функций , где для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , т.е.
. (1.1)
Здесь называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, переменной интегрирования, символ знак неопределенного интеграла.
Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций.
График первообразной от функции называется интегральной кривой функции . Очевидно, мы получим любую другую интегральную кривую, если пере-
параллельном движении одной из них по вертикали.
Свойства неопределенного интеграла
Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
,
Доказательство. Действительно,
,
и
.
Благодаря свойству 1 правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
Доказательство. Действительно,
Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:
.
Свойство 5 (инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
2. Таблица основных неопределённых интегралов
Определение 1. Совокупность всех первообразных функций , где для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , т.е.
. (1)
Здесь называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, переменной интегрирования, символ знак неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5 ; 11. ;
6. ; 12. ;
7. ; 13. ;
8. ;
14. .
9. ;
10. ;
3. Замена переменной в интеграле. Примеры.
Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой
.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда
, где .
Другими словами, формулу (2.1) можно применять справа налево.
Пример 2.2. Найти следующие интегралы:
1) ;
3) ;