26. Определение и основные свойства криволинейного интеграла по координатам, вычисление.

Пусть L—кривая, кусочно-гладкая и измеримая. Задана f(p)—она задает прямую. Введем Т—разбиение. 1) АВ(дугу) или L разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 4) составляем интегральную сумму, 5) устремляем d(T)0 и получаем: Lim ∑ f(p_i) L(Δ_i) = ∫ f(p_i) dL—это и есть криволинейный интеграл по координатам вдоль кривой L от скалярного произведения f(p)dL. В координатном виде: ∫fdL = ∫ P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz. Криволинейный интеграл по координатам меняет знак при изменении направления движения по кривой.

Свойства: 1) 2)

3) 4)

Вычисление: 1) если пространственная кривая задана параметрически, то

dx = x^/_t dt, dy = y^/_t dt, dz = z^/_t dt, тогда

∫f(p)dL = [ P(x(t), y(t), z(t))x^/_t + Q(x(t), y(t), z(t))y^/_t + R(x(t), y(t), z(t))z^/_t ] dt

2) если y = y(x), x принадлежит [a, b], то интеграл можно посчитать:

27. Работа силового поля. Физический смысл интеграла по координатам.

Физический смысл интеграла по координатам—работа силового поля при перемещении в нем материальной точки по кривой АВ из точки А в точку В.

28.Теорема Грина.

( Работает, если площадь замкнутая, наче—нет!!!) Если в области Д плоскости ХОУ определены функции P(x,y) и Q(x,y) и они непрерывны вместе со своими частными производными, тогда: , где контур Д проходится против часовой стрелки. Замечание: эта формула остается справедлива для области Д самого общего типа.

29. Условие независимости криволинейного интеграла по координа­там от выбора пути интегрирования (на плоскости).

Теорема 1: Криволинейный интеграл не зависит от формы пути из А в В, тогда и только тогда, когда интеграл по любому замкнутому контуру L лежащему в Д и содержащему точки А и В равен нулю. Теорема 2: Если P(x,y) и Q(x,y) непрерывны со своими частными производными в односвязной области Д с ХОУ, а точки А и В принадлежат Д, то криволинейный интеграл не зависит от формы пути тогда и только тогда, когда dQ / dX = dP / dY.

30. Вычисление площади гладкой поверхности.

Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром находится по формуле:

31 .Определение интеграла первого рода по поверхности. Формулы для его вычисления.

Рассмотрим гладкую поверхность γ ( в любой точке существует касательная плоскость непрерывно меняющаяся от точки к точки ). На этой поверхности введена непрерывная функция f(p). Тогда введем понятие интеграла по поверхности.

1) γ разбивают на много частей Δ, 2) на каждом Δ выбираем р, 3) вычисляем f(p), 4) составляем интегральную сумму, 5) устремляем d(T)0 и получаем:

Lim ∑ f(p_i) S(Δ_i) = f(p_i) dγ —это и есть поверхностный интеграл от f(p) по поверхности γ. Он так же называется поверхностным интегралом первого рода.

Замечание 1: данное утверждение верно если 1) предел существует, 2) этот предел не зависит от Т-разбиения. Замечание 2: этот интеграл обладает всеми свойствами определенного интеграла ( линейностью, аддитивностью) , для него верна теорема о среднем. Вычисление: рассмотрим случай, когда поверхность однозначно проектируется на какую-либо координатную плоскость. Пусть Z = Z(x,y) , она проектируется на ХОУ, гладкость γ означает, что Z = Z(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Тогда элемент dγ проектируется в элемент поверхности dS. Пусть γ –угол между нормалью к dγ и осью Z. Тогда:

, тогда , а сам интеграл будет иметь вид: