18. Несобственные интегралы: признаки сравнения.

1 признак сравнения: если х ≥ а и f₁(x) и f₂(x)—непрерывны для любого Х принадлежащего [ a , +∞ ] и выполняется условие 0 ≤ f₁(x) ≤ f₂(x), то

1) f₂(x) dx –сходится  f₁(x) dx –сходится. 2) f₁(x) dx –расходится  f₂(x) dx –расходится. 2 признак сравнения: если х ≥ а и f₁(x) и f₂(x) ≥ 0, то существует

Lim ( f₁(x)) / ( f₂(x)) = K ( при Х  +∞ ) , то оба интеграла сходятся и расходятся одновременно. Следствие: если f(x) ≤ M / X^p , то P > 1, f(x) ≥ M / X^p , то P ≤ 1

Если сходится интеграл от модуля функции и интеграл от функции, то это абсолютно сходящийся интеграл. Если интеграл от модуля расходится, а от функции—сходится, то это условно-сходящийся интеграл.

19. 0Пределение двойного интеграла, его геометрический и механический смысл. Свойства линейности и аддитивности; сведение двой­ного интеграла к повторному.

Двойным интегралом от функции f ( x, y ) по области Д называется ∫∫ f ( x, y ) dxdy = Lim ∑ f ( x_i , y_i )ΔS_i ( при dt  0 ). ΔS_i –интегральная сумма разбиений. Геометрический смысл: двойной интеграл есть объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью Z = f ( x, y ). Линейность:

∫∫ ( f ( x, y) ± g ( x, y)) dxdy = ∫∫ ( f ( x, y) dxdy ± ∫∫ ( g ( x, y) dxdy , а так же:

∫∫ λ f ( x, y) dxdy = λ ∫∫ ( f ( x, y) dxdy . Аддитивность: f ( x, y) dxdy =

f ( x, y) dxdy + f ( x, y) dxdy.

Сведение двойного интеграла к повторному: если f непрерывна в области Д, то f ( x, y) dxdy = . В правой части формулы стоит повторный интеграл. Если область Д не является простой, то ее нужно разбить на простые части. Если область интегрирования задается прямоугольником, то пределы интегрирования—константы. Если область дифференцирования—что-то похожее на эллипс, то можно выбирать пределы интегрирования по любым осям.

20. Двойной интеграл: интегрирование неравенств, оценка интеграла, теорема о среднем.

Теорема о среднем: если f(x, y )—непрерывна в области Д, то найдутся x, y принадлежащие Д, такие, что f ( x, y) dS = f(x, y)*S_Д. доказательство: так как f(x, y )—непрерывна в области Д, то она принимает все свои значения, то есть m ≤ ( ∫∫f(x, y ) dS ) / S_Д ≤ М  f ( x, y) dS = f(x, y)*S_Д.

21. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

При переходе к криволинейным координатам считают: U = U( x, y ), V = V( x, y ), тогда X = X( u, v ), Y = Y( u, v ). Также вводится Якобиан. Он считается подобно определителю J = , тогда dS = | J | dudv. Якобиан в любой точке М, области Д, есть коэффициент изменения площади при деформации области Д. Исходя из этого:

S(Д) = . В полярных координатах: X = ρcosφ, Y =ρsinφ, тогда якобиан имеет вид: J = . Он будет равен: ρ.

Тогда f ( x, y) dxdy = f ( ρcosφ, ρsinφ ) ρdρdφ. Или f ( ρ, φ ) ρdρdφ =