Билет 1

1)Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a;b] и прямыми x=a и x=b, называют криволинейной трапецией.

Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а; b]: S=F(b)-F(a).

Доказательство. Рассмотрим функцию S (х), определенную на отрезке [а; b]. Если а <x≤b, то S (х) — площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х; 0) (рис. 2, а). Если х=а, то S (а) = 0. Отметим, что S(b)=S (S — площадь криволинейной трапеции).

Докажем, что S'(x)=f(x). (2)

По определению производной надо доказать, что

при (3)

Выясним геометрический смысл числителя Δ S (х). Для простоты рассмотрим случай ΔX>0. Поскольку Δ S(х)= S (х + Δ х) — S (х), то Δ S (х) — площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 2, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади Δ S(x),опирающийся на отрезок [х; х+Δ х] (рис. 2, в). В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с ∈ [х; х+Δ х] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком [х;x+Δx], либо содержит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади Δ S (X)). Высота прямоугольника равна f (с). По формуле площади прямоугольника имеем Δ S (x)=f (с) Δ х, откуда (Эта формула верна и при Δ х<0.) Поскольку точка с лежит между х и х + Δx; то с стремится к х при . Так как функция f непрерывна, при . Итак, при .Формула (2) доказана.Мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х∈ [а;b] имеем: S(x) = F(x)+C, где С — некоторая постоянная, a F — одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а: F(a)+C=S(a)=0, откуда C=—F(a). Следовательно, S(x) = F(x)-F(a). (4) Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляя х = b в формулу (4), получим: S=S(b)=F(b)-F(a).

Пример: - график

F(x)=x², y=0,x=1,x=2

Решение

1)Найдём первообразную

F(x)=x²dx=x³/3

2)Находим значения первообразной при x₁=2 и x₂=2

F(1)=1³/3=1/3

F(2)=2³/3=8/3

3)Находим площадь криволинейной трапеции

S=F(x₂)-F(x₁)=8/3-1/3=7/3 кв.ед

2) Многогранник, составленный из n-угольника А₁А₂ …А_n и n угольников, называется пирамидой.

Многоугольник А₁А₂…А_n называется основанием, а треугольники – боковыми гранями пирамиды.

S_пов=S_бок+S_осн

Билет 2

1)Функция F называется первообразной для f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка. F`(x)=f(x).

Примеры:

f(x) =3,5 ; F(x)=интеграл 3,5 dx = 3,5x+C

F(x) = 2x ; f(x)=интеграл 2xdx= 2x²/2+C=х²+С

2) Теорема. Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Для треугольной пирамиды:

Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объёмом V, площадью основания S и высотой h. Проведём Ох, где ОН – высота пирамиды, рассмотрим сечение А₁В₁С₁ пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки М₁ пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S(x) – площадь сечения. Выразим S(x) через S, h и х. Заметим, что треугольники А₁В₁С₁ и АВС подобны. Следовательно, А₁В₁/АВ=ОА₁/ОА. Прямоугольные треугольники ОА₁М₁ и ОАМ так же подобны (имеют общий угол с вершиной О). Поэтому ОА₁/ОА=ОМ₁/ОМ=х/h. Таким образом, А₁В₁/АВ=х/h. Аналогично доказывается, что В₁С₁/ВС=х/h и С₁А₁/СА=х/h. Итак, треугольники А₁В₁С₁ и АВС подобны с коэффициентом подобия х/h. Следовательно, S(x)/S=(х/h)², или S(x)= S/h²*x². Применяя теперь основную формулу для вычисления объёмов тел при а=0, b=h, получаем V= h интеграл 0 S(x)dx= h интеграл 0 S/h²*x²dx=S/h² h интеграл 0 х²dx=S/h² x³/3 h|0=1/3 S*h.

Док-во: Для произвольной пирамиды:

Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S. Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h. Выразим объём каждой треугольной пирамиды по данной нами формуле и сложим эти объёмы. Внося за скобки общий множитель 1/3*h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных пирамид, т.е. площадь S основания исходной пирамиды. Таким образом, объём исходной пирамиды равен 1/3*S*h.

Билет 3

1) Если F`(x)=0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянная на этом промежутке.

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке, а С – произвольная постоянная.

Для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(X) — F(x)=С, что и требовалось доказать.Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.

2) Параллелепипед – это призма, которая имеет на основании параллелограмм.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

V=abc=SH

Билет 4

1) Правило № 1:

Если F есть первообразная для f а G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

(F+G)`=F`+G`=f+g

F(x)=x³+1/x²=x⁴/4-1/x+C

Правило № 2:

Если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция k*F – первообразная для k*f

(k*F)`=k*F`=k*f

F=(x)=5cosx=5sinx

Правило № 3:

Если F(x) есть первообразная для f(x). a k и b – постоянная, причём k не=0, то

(1/k*F(kx+b))`= 1/k*F`(kx+b)*k=f(kx+b)

F(x)=1/(-3)*1/4*(7-3x)⁴=1/12*(7-3x)⁴

2) Теорема. Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассмотрим конус с объёмом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке О. Введём ось Ох, т.к. показано на рис.(ОМ –ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке М₁ пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R₁, а площадь сечения через S(x), где х – абсцисса точки М₁. Из подобия прямоугольных треугольников ОМ₁А и ОМА следует, что ОМ₁/ОМ=R₁/R, или х/h=R₁/R, откуда R₁=R/h*h. Так как S(x)=ПR₁²,то S(x)=ПR²/h²*x².

Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при а=0, b=h, получаем

V= h интеграл 0 ПR²/h²*x²dx= ПR²/h² h интеграл 0 x²dx=ПR²/h² х³/3 h|0=1/3*ПR²*h.

Площадь S основания конуса равна ПR², поэтому V=1/3S*h.

Билет 5

1) Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю: