11. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Под энергией механической системы понимается способность системы совершать работу. В механике рассматривается два вида энергии: кинетическая (зависит от скорости точек системы) и потенциальная (зависит от координат точек системы).

(3.26)

Координаты каждого уравнения системы (3.26) скалярно умножим на и

Скалярное произведение слева представим через произведение по времени от произведения:

и тогда , (3.27)

кинетическая энергия первой и второй материальной точки.

Просуммируем уравнение системы (3.27) и учтем, что:

(3.28)

(3.28) – теорема об изменении кинетической энергии системы. Кинетическая энергия системы изменяется с течением времени, благодаря работе, совершаемой над этой системой внутренними и внешними силами.

Скалярное произведение – работа в единицу времени, которая совершается силой .

Если система замкнута, то изменение кинетической энергии со временем обусловливает работу только внешних сил.

(3.29)

При изучении движения механической системы под действием силовых полей энергетические соотношения связаны с изменением кинетической и потенциальной энергии.

12. Потенциальные силы и потенциальная энергия

В механике силы можно разделить на потенциальные (консервативные) и не потенциальные. К потенциальным силам относят силы, которые зависят от положения системы в начальный и конечный момент времени и не зависят от способа перехода системы между этими точками. Внутренние силы являются потенциальными силами, они удовлетворяют третьему закону Ньютона, и зависят только от расстояния между точками системы.

Работа внешних сил определяется начальным и конечным положением сил. Внешние силы рассматриваются конкретно для каждой задачи. Внешние силы можно сделать внутренними, если точки, со стороны которой они действуют, поместить в систему. Потенциальные силы, а значит и потенциальное поле связано соотношением:

(3.30) где

Не зная решения уравнения движения, изменение кинетической энергии можно найти только для потенциальных сил

– потенциал энергетического взаимодействия материальной точки. не потенциальная энергия системы материальных точек – это физическая величина измерения работы, которая совершается потенциальными силами над точками системы.

1. Потенциальная энергия зависит от координат всех точек системы.

2. Потенциальная энергия определяется с точностью до константы, то есть зависит от выбора начального положения.

3. Потенциальная энергия не аддитивна.

Виды потенциальных сил:

1. Потенциальная энергия простейших механических систем

2. Сила тяжести является потенциальной силой

3. Кулоновская сила является потенциальной и электростатической, кулоновское поле – потенциальным полем

К не потенциальным силам относят:

1. Гироскопическая сила – это сила Лоренца, которая линейно зависит от скорости и направления силы перпендикулярной .

2. Диссипативная сила – сила сопротивления, направленная противоположно скорости и вызывающее торможение системы.

13. Закон изменения и сохранения механической энергии

Для системы двух материальных точек действуют . Для системы двух материальных точек закон изменения кинетической энергии определяется формулой (3.28):

Чтобы перейти к элементам рабочей силы, то есть к запишем скорость через координаты. Согласно третьему закону Ньютона , тогда:

(3.31)

Пусть внутренние и внешние силы являются потенциальными, тогда:

,где – потенциальное взаимодействие двух точек, связанных с изменением положения точек системы. Изменим потенциальные вектора в первом скалярном произведении:

, где – потенциальное взаимодействие первой частицы с изменением положения первой точки

, тогда (3.31) примет вид:

(3.32) - закон изменения полной механической энергии.

Из (3.32) следует закон сохранения полной механической энергии системы:

, отсюда следует, что . Если в системе действуют внутренние и внешние силы, то (3.33) . для замкнутой системы (3.34)