- •1. Теорема о связи первообразных одной и той же функции. Определение неопределенного интеграла.
- •2. Взаимная обратность операций интегрирования и дифференцирования. Свойство линейности неопределенного интеграла.
- •3. Задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и нахождении длины пути по известной скорости.
- •4. Определение определенного интеграла. Теорема существования (формулировка). Геометрический и механический смысл интеграла.
- •5. Свойства определенного интеграла.
- •10. Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах.
- •11. Длина дуги кривой. Вычисление длины дуги графика функции.
- •12. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически и в полярной системе координат.
- •13. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла по известным площадям поперечных сечений.
- •14. Вычисление массы, статических моментов и координат центра тяжести неоднородной материальной нити.
- •15. Вычисление массы, статических моментов и координат центра тяжести однородной материальной пластины.
- •16. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Определение и формула Ньютона-Лейбница. Исследование сходимости интегралов
- •Что такое дифференциальное уравнение и его решение ? Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям (задача о радиоактивном распаде и задача о колебании груза напружине).
- •Задача Коши и теорема Коши (формулировка) для дифференциального уравнения первого порядка. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли.
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Задача Коши и теорема Коши для дифференциального уравнения порядка n (формулировка). Общее решение дифференциального уравнения.
- •Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения (второго поряка). Линейность пространства решений однородного уравнения.
- •Линейная зависимость и определитель Вронского.
- •11. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
- •12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Вывод характеристического уравнения. Общее решение в случае действительных различных корней.
- •13. Лоду с постоянными коэффициентами второго порядка. Фундаментальная система решений в случае совпадающих действительных корней и в случае комплексных корней характеристического уравнения
- •14. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов (формулировка).
- •1. Определение преобразования Лапласа. Оригиналы и изображения. Изображения для единичной функции (Хевисайда) и показательной функции.
- •Общая схема решения линейных дифференциальных уравнений операционным методом.
1. Теорема о связи первообразных одной и той же функции. Определение неопределенного интеграла.
Первообразной функции f(x) на некотором (конечном или бесконечном) интервале называется дифференцируемая функция F(х), производная которой равна f(x) во всех точках интервала, т.е. F'(х) = f(x).
Тоерем. Любые 2 постоянные функции отличаются не постоянностью. Если g(x) др. первообразн. f(x), то g(x)=f(x)+сб где с-const. Док-во: По услов. F’(x)=f(x), G’(x)=g(x) Рассмотр. Функ-ию, найдем ее производн. G’(x)-F’(x) = g(x) – f(x)=0 =>
G’(x)-F’(x) =с, т.е G’(x)= F’(x) +с. Вывод: Множество всех первообразных ф-ий f(x) устроено так: нужно взять одну из первообр. И к ней прибавлять всевозможные постоянные.
Неопределённым интегралом функции f(x) называется множество всех её первообразных. Сл-но
где F(х) — одна из первообразных, а С — произвольная постоянная.
Для проверки формулы (1) достаточно найти производную функции F(х) и убедиться в том, что она равна подынтегральной функции f(х).
Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции. Будет доказано, что любая непрерывная функция имеет первообразную. Однако интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией (такие интегралы называются "неберущимися").
2. Взаимная обратность операций интегрирования и дифференцирования. Свойство линейности неопределенного интеграла.
Интегрирование и дифференцирование есть две взаимно обратные операции. Всякому правилу дифференцирования соответствует правило (метод) интегрирования. Так, свойство линейности производной переходит в свойство линейности интеграла. Правилу дифференцирования сложной функции соответствует, как мы видели, метод интегрирования введением под знак дифференциала. Этому же правилу соответствует также метод интегрирования заменой переменной. И правилу дифференцирования произведения соответствует метод интегрирования по частям.
Свойство линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации от интегралов этих функций.
3. Задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и нахождении длины пути по известной скорости.
Вычисление площадей криволинейных трапеций. Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, то есть области, лежащей под графиком функции у = f(х),
f(х) > О, вычисляется по формуле
Площадь области D, расположенной между графиками двух функций, т.е. D : а ≤ х ≤ b, g(х) ≤ у ≤ f(х), вычисляется по формуле
Пусть время движения изменяется от t0 до Т. При равномерном движении пройденный путь равен произведению скорости v на время движения (Т- t0), т.е. S=v(Т-t0), v=const.
В случае неравномерного движения эта формула непригодна. Разобьем интервал [t0,Т] на ряд частичных интервалов Dti. При малых Dti, скорость
изменится незначительно и на каждом частичном интервале ее приближенно можно считать постоянной. Вычислим на каждом частичном интервале скорость, и найдем величину пройденного пути.
Значение величины пути будет вычислено тем точнее, чем меньше частичные интервалы времени Dti. Точное значение получим как предел суммы, т. е;
В правой части равенства находится предел интегральной суммы функции v(t) на - интервале [t0,T], равный соответствующему определенному интегралу.