Гл. 6. Матрицы и определители.
§1 Понятие матрицы. Операции над матрицами.
Определения.
Определение: Матрицей размерности называется прямоугольная таблица содержащая - строк и - столбцов:
- элемент матрицы , - номер строки, - номер столбца.
Элементами матрицы могут быть действительные комплексные числа, переменные, а так же сами матрицы.
Матрица состоящая из одной строки, называется матрица – строка, матрица состоящая из одного столбца – матрица столбец:
, .
Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается буквой 0.
Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.
Порядком квадратной матрицы называется число строк (или столбцов).
.
Порядок: 1, 2, n.
Элементы , , … квадратной матрицы образуют ее главную диагонали. Элементы , , … - побочную диагональ.
Квадратная матрица называется симметрической, если ее элементы, симметричны относительно главной диагонали, то есть :
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равно 0, то есть:
.
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, и обозначается буквой E:
Треугольной матрицей называется матрица все элементы которой расположены по одну сторону от главной диагонали, равны 0. Различают верхнюю и нижнюю треугольные матрицы.
.
Алгебра матриц.
Две матрицы одной размерности равны, если они состоят из одинаковых элементов.
.
Равенство, сложение и вычитание матриц определяются только для матриц одинаковых размеров.
Суммой двух матриц одной размерности называется матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых.
.
, .
Пример:
, , = .
Свойства сложения:
10. - коммутативность.
20. - ассоциативность.
30.
Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, элементы которой равны произведению соответствующих элементов исходной матрицы на это число:
.
Матрицу называют матрицей противоположной матрице , обозначенной .
Замечание: Вычитание может быть выполнено таким образом:
.
Свойства операции умножения на число:
10. .
20. .
30. .
Произведение матриц и существует только тогда, когда число столбцов равно числу строк .(то есть “ширина” матрицы , равна “высоте” матрицы ).
Матрица - произведение имеет столько строк, сколько их в , и столько столбцов, сколько их в матрице .
=
.
Элемент матрицы равен сумме произведений элементов - той строки матрицы на элементы -того столбца .
Пример:
.
.
Замечание: две квадратных матрицы одного и того же порядка всегда можно перемножить.
Свойства умножения:
10. .
20. .
30. .
40. В общем случае свойство коммутативности не выполняется: .
50. .
60. .
Матрица полученная из данной матрицы заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной относительно данной. Транспонированную матрицу обозначают .
.
Свойства транспонированной матрицы:
10. .
20. , где - число.
30. .
40. .