3. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости

числового ряда

Теорема 8.8. Числовой ряд сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд сходится. Тогда по свойству 1 сходящихся рядов также сходится ряд . Так как , то по первому признаку сравнения рядов (теорема 8.2) также сходится ряд . На основании свойства 2 сходящихся рядов сходится разность двух рядов , т. е. исходный ряд. Ряд называется абсолютно сходящимся, если он сходится и сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Билет 15.

1. Метод наименьших квадратов. При решении экономических задач часто возникает необходимость представления опытных данных в аналитическом виде. Наиболее известным математическим методом для этих целей является метод наименьших квадратов.Пусть имеются опытные данные в виде таблицы

	. . . . . . .
	. . . . . . .

из двух строк, в первой строке которой находятся значения некоторой переменной, принимаемой за независимую, а во второй соответствующие значения другой переменной, принимаемой за функцию. Требуется найти аналитическую функциональную зависимость . Наиболее просто найти аналитическую зависимость возможно с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, который в общем виде записывается следующим образом .

График данной функции проходит совершенно точно через заданные точки (рис.)

В случае, если имеются два точки , , то данная формула позволяет написать уравнение прямой, проходящей через эти точки . В случае, если имеются три точки , , , то данная формула позволяет написать уравнение параболы, проходящей через эти точки . Если известно n точек, то можно написать уравнение линии, представляющей многочлен (n1)-ой степени относительно х.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Данные уравнения являются наиболее простыми из дифференциальных уравнений. Однако решение многих типов дифференциальных уравнений сводится к решению дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. В общем случае данные уравнения можно записать в виде или , где  непрерывные функции. Для нахождения общего решения уравнения переменные x и y в уравнении с помощью алгебраических действий разделяют так, чтобы в каждом слагаемом уравнения содержалась только одна переменная и ее дифференциал, либо x и dx, либо y и dy. Дифференциалы dx и dy. должны быть всегда в числителях дробей. Разделяем переменные. Уравнение вида делим на , получаем  . После того, как переменные разделены, решение уравнения сводится к интегрированию. Записываем .Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к нахождению интегралов. Если уравнение имеет вид , то переменные разделяем следующим образом . Если решение дифференциального уравнения сведено к нахождению интегралов, то считается, что оно в принципе решено. Поэтому часто говорят не решить, а проинтегрировать дифференциальное уравнение. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями). Функция называется однородной n-го измерения, если , где t – параметр. Например, для функции находим . Следовательно, эта функция второго измерения (n = 2). Покажем, что частное двух однородных функций и одного и тоже измерения есть однородная функция нулевого измерения. Действительно, . Однородными дифференциальными уравнениями называются уравнения вида , где и  однородные функции одного измерения.

Данное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого преобразуем уравнение . Обозначим . Тогда уравнение примет имеет вид , где  однородная функция нулевого измерения, т. е. . Если принять параметр , то . Уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки или , где u = u (x) функция от x . Найдем производную и подставим ее в уравнение, получим . Разделим переменные и проинтегрируем

 . Решение уравнения сведено к нахождению интегралов. В результате интегрирования будет получен общий интеграл . Для нахождения общего интеграла исходного дифференциального уравнения необходимо сделать обратную замену переменной , в результате которой общий интеграл будет иметь вид .

3.Первый признак сравнения рядов. 1. Если члены знакоположительного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда , т. е. , то он сходится. 2. Если члены знакоположительного ряда не меньше соответствующих членов расходящегося ряда , т. е. , то он расходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть ряд сходится и его сумма равна .

Ряд знакоположительный, поэтому последовательность его n-ых частичных сумм монотонно возрастает при увеличении n. Члены ряда не превосходят соответствующих членов ряда , т. е. . Ввиду этого частичные суммы рядов удовлетворяют неравенству .Кроме того, очевидно, что . Следовательно, последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена ( ). По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел . Ряд сходится. Второе утверждение теоремы докажем от противного. Пусть известно, что ряд расходится и . Предположим, что ряд сходится. Тогда по первому утверждению данной теоремы должен сходиться также ряд . В этом и состоит противоречие.

Билет 16.