2 7.Геометр.Приложения двойных и их вычисление повторным интегрированием

-поверхность; -интегр.сумма; Si= Vi-объем параллелепипеда с площ.основания Si и высотой - предел инт.суммы может интерпретир.как Vтела. Геом.смысл дв.инт.-это V тела,ограниченного поверх-тью, фигурой D и некот.цилиндрической поверх-тью по бокам. = ; D проектируется на ось OX.Для кажд.Х можно говорить о сечении. - это формула повторного интегрирования.

28. ДУ 1 порядка. Общ и час реш. Зад. Коши. Т-ма сущ и ед реш. З-чи, привод к реш ДУ. ДУ – Ур-ия, содерж независ переменную, ф-ю от этой переменной и её производные до n порядка включ.: (1) F(x,y,y’,…y⁽ⁿ⁾)=0 Число n (max порядок производ) наз-ся порядком ДУ. Частным решением ДУ (1) наз. ф-ия, при подстав кот. ур-ие превращ в тождество.Мн-во всех част.решений. наз-ют общим реш. ДУ ДУ (2) y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’…y^(n-1)) наз-ся разрешенным относит-но старшей производной. Задача нахожд реш-й Д У наз-ся интегрирированием Д У. F (x,y,y’)=0; (2) y’=f(x;y)-разреш.отн-но производной (3)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0-симметрич.форма записи ДУ y’=dy/dx; dy/dx=f(x,y); dy=f(x,y)dx; f(x,y)dx-dy=0. В ур-ии (3) можно искать ф-ю y(x) или x(y). Рассм (2) ур-е: касательная в точке tgα=f(x,y’)

Задача Коши: y’=f(x,y); (4) y|_x=x0⁼y0. Найти част.реш-я ур-ия,удовл начал усл-ям, т е знач-я ф-ии при x=x₀ равно y=y₀. Теор. сущ-я: пусть ф-я f(x,y), f ‘_y(x,y) – непр в некот.окрес-ти (.)U(x0,y0)=U(Mo), тогда сущ-ет такая окрест U(x0) и ф-ция y=y(x), заданная в этой окрест-ти,такие, что ф-ция y(x) явл реш з-чи (4),т.е. y(x₀)=y₀; y(x) удоветв. y’=f(x,y) в окрест-ти точки M0. Такая ф-ия y(x) сущ-ет только одна.

Обл.D непрерывности ф-ции,f’y-непр. Есть точка M0 из обл.D. y’=ky; f(x,y) =ky; f’y=k. Обе ф-ции непрер.на всей пл-ти,и знач.,решением будет y=ce^kt; y|_x=0 =с M(0,c) и оно будет ед реш, проход. через (.) М(0;с)

2 9. ДУ с разделяющ и разделён перем-ми. (*)P(x)dx+Q(y)dy=0 – ДУ с разделенными пер-ми. y=y(x)=> Q(y)dy=Q(y)y’(x)dx; ∫P(x)dx+∫Q(y)y’(x)dx=C; ∫P(x)dx+∫Q(y)y’(x)dx=C; ∫P(x)dx+∫Q(y)dy=C –это общее реш.(общ.интеграл ДУ) (**)m₁(x)n₁(y)dx+m₂(x)n₂(y)dy=0 – ДУ с разделяющ пер-ми. (m₁(x)/m₂(x))dx+(n₁(y)/n₂(y))dy=0 – ДУ с разделён пер-ми. – общий интеграл.

30. ЛДУ 1 порядка. ЛДУ 1 п-ка – ур-ия вида y’+p(x)y=q(x). Реш-е: будем искать реш как произвед 2 ф-ций: y=u(x)*v(x); y’=u’v+uv’ ; u’v+uv’+puv=q; (u’+pu)v+uv’=q(*); усл-е: u’+pu=0; (u’)=du/dx=-pu; du=-pudx; du/u=-pdx. Проинтегрируем по х: =-∫p(x)dx; u=e-^∫p(x)dx; e-^∫p(x)dxv’=q(x)

31. Численное решение дифференциального уравнения. Метод Эйлера. Ишем решение (ДУ) на [x₀; b] = [a;b] H=(b-a)/n ; h – шаговое разделение

	x	y
a=	X0	Y0
	X1	Y1
	...	…
b=	Xn	Yn

y^’=f(x₀;y₀)

y(x+h)=y(x) + h*y(x) (*)(*) исходя из определения производной получаем :у₁=y(x₀+h)≈y(x₀)+h*f(x₀;y₀);у₂=y(x₁+h)≈y(x₁)+h*f(x₁;y₁). В ответе имеем таблично заданную функцию которая тем ближе к табличному решению, чем меньше число h. Метод Эйлера. Приближенное решение нашего ДУ. Способ оценивания ошибок 1) max | y(x) – y_n (x)| x є [a;b] 2) | ỹ(b) – y_n (b)| ỹ_n(x); ỹ_2n(x) | ỹ_n - ỹ_2n|. Если данная величина мала, то полученное решение является «достаточно» точным. Задачи оценки кач-ва намного сложнее, чем нахождение решения.

32. ДУ высших порядков. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. F(x, y, y^’…y⁽ⁿ⁾)=0; y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y^’…y^(n-1)). Решение: 1) общее y=φ(x, c₁…c_n) мн-во всех решений. 2) частное y=y(x) ф-ия, при подстан. кот. получ. верное тождество. Задача Коши теорема существования и единственности. Пусть нам дана задача Коши и пусть ф-ии f, f^’y…f^’y(n-1) непр. M₀ (x₀, y₀, y^’₀…y₀^n-1). Тогда сущ. U_x0 и ф-ия y=y(x) определённая в этой окрестности такая что она явл. Решением задачи Коши. Такая ф-ия сущ. только одна.

33. Линейный дифференциальный оператор n-го порядка и его свойства. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения. Линейный диф. оператор

Свойства

Доказательство

Исследуем множество решений линейного однородного уравнения, являющегося векторным пространством. Множество функции задано на [a;b] λf(x); f(x)+g(x) ; (f+g)+h=f+(g+h) – ассоц.; f+g=g+f – Коммут.; f+0=f; f+(-f)=0 т.о. мн-во функции является вектором пространства L[y]=0; 1) y - решение=>λy – решение L[λy]= λL[y]=0; 2)y₁, y₂ – решение; L[y₁]= L[y₂]=0 => y₁ + y₂ – решение; L[y₁+y₂]= L[y₁]+ L[y₂]=0 На множестве решений можно определить две операции. Множество решений однородного линейного уравнения является векторное пространство

3 4. Фундаментальная система решений, для линейного однородного уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система называется всякий базис множества y.- фун-ия линейно независима (y_1….yn)- при добавлении любой другой функции становится линейно зависима ( для любого y, y₁…y_n, y

Рассмотрим ДУ второго порядка Если λ₁≠ λ₂ И это вещественное число => W≠0 и => функция y₁ и y₂ – линейнонезавис. И сост. Фунд. Сист. Реш. Y=c₁y₁+c₂y₂ =c₁e^λ1+c₂ e^λ2

Дадим определение определителя Вронского Т1: если y_1, y_2… y_n лин. зависимы, то W(x)=0 для xєX. мн-во – это интервал опред. коэф. ур-я L[y]=0. Т2: если W(x₀)=0, то W(x)=0 для всех xєX:u y_1, y_2… y_n – лин. завис. Т3: если W(x₀) ≠0, то W(x) ≠0 при любом x єX. W(x₀)=0 => по Т.2 W(x)=0 при любом xєX. Т4: Для ДУ сущ. m линейно-независ. ф-ий y_1, y_2… y_n. Нач. ус ловие x=x₀. получ. Единичн. Матр. Δ=1=> этим ф-ии лин.независ. Т5: пусть y_1, y_2… y_n. линейно независ. y – произв.

3 5. теорема о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ n-го порядка. Теорема: общее решение ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения y^* неоднородного уравнения и общего решения ŷ соответствующего ему однородного уравнения, т. е. y=y^*+ ŷ. Частное решение y^* ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если известно общее решение ŷ однородного уравнения , методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде: y^*= c₁(x)y₁(x)+ c₂(x)y₂(x)+…+ c_n(x)y_n(x), y_i(x), i=от 1 до n- частные решения, образующие фундаментальную систему, однородного уравнения. Система уравнений для нахождения неизвестных c_i(x) имеет вид:

Однако для ЛНДУ n-го порядка с пост. коэф., правая часть которого имеет спец. вид, частное решение y^* может быть найдено методом неопределённых коэффициентов. Метод подбора частного решения y^* уравнения y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+…+p_ny=f(x), где p_i – числа, а правая часть f(x) имеет специальный вид.

36.Линейные ДУ с пост. коэф. И его характеристическое уравнение. Вид общего решения в случае различных корней характ. ур-я. ( на примере ДУ второго порядка) Частным случаем однородных ДУ уравнений являются ЛОДУ с пост. коэф. Пусть дано ЛОДУ второго порядка: y^’’+p•y^’+q•y=0; где p и q постоянны. Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему. Будем искать частные решения уравнения в виде y=e^kx, где k-некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для y, y^’ и y^’’ в данное уравнение, получим k²e^kx+pke^kx+qe^kx=0, т.е e^kx(k²+pk+q)=0 или k²+pk+q=0 (e^kx≠0)-характеристическое уравнением ДУ. При его решении возможны следующие три случая. Случай 1: корни k₁ и k₂ данного Ур-я действительные и различные: . В этом случае частными решениями уравнения являются функции y₁=e^k1x и y₂=e^{k2 x}. Они образуют фундаментальную систему решений, т. к. . Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: y=c₁e^k1x+ c₂e^k2x. Билет 37 Если a₁…a_n – числа, то это ур-е с постоянными коэфф.. - характеристическое ур-е y''+a₁y'+a₂y=0 (диф ур-е 2го порядка), λ²+a₁λ+a₂=0, где λ₁= λ₂ a²₁-4a₂=0 λ₁= λ₂= 1 решение: y₁= Проверим, что y₂= - тоже решение y₂= ; y'₂= ; y''₂= Получим: Учтем, что λ₁= y₂= -явл решением, ЧТД Значит Y= , где Y-общ решение

Билет 38 Если a₁…a_n – числа, то это ур-е с постоянными коэфф.. - характеристическое ур-е y''+a₁y'+a₂y=0 (диф ур-е 2го порядка), λ²+a₁λ+a₂=0, где λ_1,2=α±iβ y(x)=u(x)+iv(x); y'(x)=u'(x)+iv'(x) u(x)-вещ часть v(x) – мнимая часть Теорема. L[y]=0u(x), v(x)-решения L[y]=L[u=iv]=L[u]+iL[v]=0L[u]=L[v]=0 y_1,2= e^(α±β)x Y=c₁e^αx·cosβx+c₂e^αx·sinβx

Билет 39 Формы записи: 1) F(x,y,y',…y^(n-1))=0 – ДУ n-го порядка; 2) yⁿ=f(x,y,…y^(n-1)); 3) F(x,y,y')=0; y'=f(x,y); 4) 5) относительно разрешенного (4) и (5) – векторная форма записи систем ДУ Частное решение для (6) - найти упорядоченный набор функций, при подстановке которых в систему ДУ, все уравнения обратятся в тождество. (y₁(x),…y_n(x)) – частное решение Решить ур-е (5) – найти вектор-функцию при подстановке к-рой в ур-ии получилось верное векторное тождество Общее решение-множество всех решений 7) Задача Коши для системы ДУ Теорема суш-я Если фун-я непрерывна в т. М₀(x₀,y₁⁰,…y₁⁰),то задача Коши (6) имеет единственное решение у₁(x)…y_n(x) в окрестности точки U(x₀) Система лин. ДУ Система линейна, когда ф-я линейна относительно у₁, y₂…y_n (5)-векторная форма Y'=AY+B – матричная форма записи

Билет 40. Yʼ=A*Y D-множ-во реш-й сист-ы, элем-ми кот-й явл.матричные функции. Т.:множ.D-n мерное векторное пространство. Его базис наз. фунд.сист.реш-й.Все элем-ты явл. лин.комбин-ми c₁Y₁+..+c_nY_n, где базис Y₁..Y_n. Из опред век.прос-ва:1)если Y₁,Y₂ –реш-я, тоY₁+Y₂ тоже реш. 2)если Y – реш, то cY тож реш. Опр-ль Вронского , если W=0, то матрицы Y₁..Y_n лин.завис. Y имеет вид , Yʼ= =A* αλ=A*α, α-соб.вектор λ-соб.число; (A-λE)α=0 матрич.форма записи сист., если А-числа. det(A-λE)=0 харктеристич.ур.сист., сист. не имеет реш-й. Т.:если корни харак.ур. различны, то базисом множ. D будут вектора Y_i=e^λixα_i. Билет 41. Дана a_n последовательность, тогда =a₁+a₂+..+a_n+.. –ряд. Справа – формальная сумма бесконечного числа чисел. частичные суммы:Sn=a1,..Sn=a1+..+an Сумма ряда-предел частичных сумм. Ряд сходится, если сущ-ет предел частичных сумм, в противном случае расходится. Необход.признак сход-ти: если ряд сходится, то предел общего члена равен нулю. a_n=S_n-S_n-1 lima_n=lim(S_n-S_n-1)=limS_n-limS_n-1=S_n-S_n-1=0. 1+1/2+1/3+..+1/n –гармонический ряд. Задача:исслед.сход-ть ряда. S_n=1+1/2+..1/n > ln(1+1/1)+ln(1+1/2)+//ln(1+1/n)=ln(2/1+3/2+..(n+1)/n)=ln(n+1). S_n>ln(n+1)→∞ при n→∞. Предела нет, гарм. ряд расход

Билет 42. Геометрич.ряд - a+aq+aq²+ ..aq^n-1.. –сумма членов геомет.прогрессии. 1)при a=0 S=0 2)S_n=a*(1-qⁿ)/(1-q) при q≠1. При |q|<1 сх. и S=a/(1-q) При |q|>=1 расх. и предела нет. Св-ва сход.рядов: 1)если ряд сх. и его сумма=S, то λ*ряд тоже сх. и его сумма=λ*S, т.е. если все члены ряда умножить на число, то его S умнож-ся на это число. Док-во: S_n=a₁+..+a_n λa₁+..+λa_n=λS_n S=limS_n λlimS_n=λS. 2)сх.ряды можно складывать почленно 3)если ряд сх-ся, то сх-ся и ряд, получ-й из данного отбрасыванием конечного числа членов. Док-во: a₁+..+a_n+.. a_k+1+..+a_k+n+.. S_n=a₁..+a_n=S_k+σ_n-k σ_n-k частич.сумма limS_n=lim(S_k+σ_n-k)=S_k+limσ_n-k если сущ. Первый предел, то сущ. и послед., и наоборот. 4)для того, чтобы ряд сх-ся, необходимо и достаточно, чтоб остаток ряда стремился к нулю. S=a₁+..a_n, r_n=a_n+1+a_n+2.., S=S_n+r_n , сх.  r_n→0. Док-во: S_n=S-r_n, S=limS_n=lim(S-r_n)=S-limr_n=0.

43.Ряды с положительными членами. Признак Даламбера. Признаки сходимости:1.признак сравнения(1) ; (2) ; 0≤a ≤b -сход. => -сход.

-расход.=> -расход. Док.-во: А =а1+…+аn (частич сумма 1 ряда) Bn=b1+…+bn An≤ Bn, Аn, Bn-возрастают (2) сход=> Bn ограничена числом В В=limBn; An ≤ В=> An-возрас и ограничена и знач имеет предел n-> . Признак Даламбера. , an>0, =l l<1 => ряд сход. l>1 => ряд расход (при l=1 приз Далам ответа не дает) Док-во: 1) l<1 n≤N ≤q<1 a ≤q a ≤q ≤q an a ≤q * an a +a +…+a …(*)-сход по приз срав; остат 1 ряда a +a .q+…+a .q +…(**)-геометр ряд со знач<1=> сход a ≥a n≥N если предел>1, то начиная с некоторого номера ≥1=> а >0=> ряд расхож по необх признак

44.Интегральный признак Коши. Обощенно-гармонический ряд. Признаки сравнения рядов. Интегральный признак Коши а Т.: Пусть члены ряда убывают и положит., и пусть ф-я f(n)=an, тогда ряд an сход, тогда и только тогда, когда интерг сход. Док-во: Sn=a1+a2+…+an Sn≥ f(x) dx, a2+a3…+a < f(x) dx предполож, что ряд сход., тогда: ≤Sn<S f(x) dx≤S= f(x) dx если I= f(x) сход => f(x) dx<I S -a1<I, знач S <а1+I => огранич и имеет lim, знач ряд сход. Обощенно-гармонический ряд. Гармонич ряд наз след ряд: 1+ -исследов сход данного ряда: ln(1+α)>α e= (1+ ) (1+ ) <e n ln (1+ )<1 ln(1+ )< -запишем частич сумму: Sn=1+ >ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )= ln[ ]=ln(n+1) Sn>ln(n+1) n гармонич ряд расход, общий член стремится к нулю Признаки сравнения рядов. 1.признак сравнения (1) ; (2) ; 0≤a ≤b -сход. => -сход. -расход.=> -расход. Док.-во: А =а1+…+аn (частич сумма 1 ряда) Bn=b1+…+bn An≤ Bn, Аn, Bn-возрастают (2) сход=> Bn ограничена числом В В=limBn; An ≤ В=> An-возрас и ограничена и знач имеет предел n->

45. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Знакопеременные ряды. (1) (2) если его члены не имеют произв знач ряд (1) сход абсолют, если схож ряд (2) Т.: Если ряд (1) сход абсолют, то он сход Док-во: Sn=a1+…+an=Sn’-Sn”, Sn’,Sn” ≥0 Sn’-сумм положит слаг из 1-х т шт (-Sn”)-сумм отриц слаг -сумм ряд (2) =Sn’+Sn” Если ряд (2) сход => что <δ(огранич), а знач Sn’ и Sn”-огранич (< )=>Sn’-S’; Sn” S” Sn= (Sn’-Sn”)=S’-S” замечания: сход ряда не след его абсол при измен порядка слаг в усл-сход ряду, его сумм мож изменит, т.е.какое бы ни было S можно так изменит поряд слаг. в усл-сход ряду, что его сумм=S Достаточный признак сходимости Если an не стремится к нулю, то ряд не может быть сход-ся, т.е. он расход-ся. Пример: => ряд расход, ибо его общ член an= при n , стремится к 1/100 и знач не стремит к нулю. !!! стремление n-го члена ряда к 0 не яв-ся достаточным для сход ряда!!! Абсолютная и условная сходимость. Есл ряд, состав из абсолют велич член дан ряда, сх-ся, то сх-ся и дан ряд Ряд наз-ся сход относ(усл), есл он сход, а ряд из его модул расход.

46.Теорема Лейбница Знакочеред. ряд с убыв член сход-ся: an, <a1, an>0 Есл предел общ чл=0 =0 => an-ax, a >an, an>0 Док-во S2n=(a1-a2)+(a5-a4)+…+(a -a2n); S2n>0, S2n-возрас S2n=a1(a2-a3)-(a4-a5)-…-(a -a )-a2n S2n<a1-огранич => S2n S =S+0 Сл1: an; a <an; an>0 Sn=S=> S<ax Сл2: |S-Sn|< a абсолют ошибка замены S на Sn и она <1-го отбрас чл Sn S

47.Функциональные ряды. Это ряд вида: U1(x)+U2(x)+…+Un(x)…(1) S1(x)=U1(x); Sn(x)=U1(x)+…+Un(x) S(x)= Sn(x) Обл сход ряд(1)-мн-во Х, для кот ряд(1)сход. Это есть обл опред ф-и f(x)

48. Степенный ряды. Степенным рядом наз-ся функц ряд (3)a0+a1(x-a)+a2(x-a) +…+an(x-a) чл кот суть произв пост а0,а1,ат на степен ф-ции с цел показ степен от разнос х-а Теорема Абиля: (2)а0+а1х+…+аnx+… а) есл (2)сход при х0, то он сход при |x|<|x0| б)есл (2) расход при х0, то он расход при |x|>|x0| Док-во: а0+а1х+…+аnx +… |a0|+|a1||x|+…+|an||x| +…=|a0|+|a1x0|| |+…+|anx 0|| | +…(*) -сход => =>0=>| |<M <M(1+| |+…+| | -q=| | -геомет ряд со знач сход при q=1=> ряд(*) сход по приз срав с геом ряд; а первон ряд сход абсол есл ряд(2) расход при х’0 и пусть при |x|>|x0|-сход (х-сх-ся=> x’0-сход это противор) Радиус и интервал сход-ти степен ряда: Радиусом сход-ти степен ряда наз-ся такое число R, что для всех x, |x|<R, степен ряд сход, я для всех x, |x|>R, расход. Интервал (-R,R)-интервал сход-ти