- •Лабораторная работа №14
- •I. Краткие теоретические сведения.
- •1.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •1.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •1.3.1. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения.
- •1.3.2. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения.
- •1.3.3. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Случай комплексно-сопряженных корней.
- •1.3.4. Решение олду более высоких порядков.
- •1.3.5. Решение нлду с постоянными коэффициентами.
- •I. Метод вариации.
- •II. Нахождение частного решения нлду по виду правой части.
- •II. Примеры решения заданий практической части.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши).
- •2. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
- •Определить и записать структуру частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(X).
- •4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения.
- •5. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (решить задачу Коши).
- •6. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа).
- •III. Задания для практической части.
- •1. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши).
- •2. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
- •3. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.
Лабораторная работа №14
Дифференциальные уравнения высших порядков.
I. Краткие теоретические сведения.
1.1. Основные понятия.
Определение. Если порядок дифференциального уравнения выше первого, то такие дифференциальные уравнения будем называть дифференциальными уравнениями высших порядков. То есть F(x,y,y,y,…,y(n-1),y(n))=0. (1)
Причем, в это уравнение производные порядка ниже чем n могут не входить, а вхождение y(n) обязательно.
Если уравнение (1) разрешить относительно старшей производной, то получим уравнение вида y(n)=f(x,y,y,y,…,y(n-1)) (2)
Каждый раз при решении ДУ первого порядка мы получали произвольную постоянную С, которая возникала в процессе интегрирования. При решении ДУ n–го порядка (n>1), очевидно, придется интегрировать n раз. И каждый раз в результате интегрирования будем получать новую постоянную Сi. Поэтому решение ДУ (2) будет иметь вид: у=(х,С1,С2,…,Сn) (3)
Для нахождения решения задачи Коши в случае ДУ n–го порядка одного начального условия будет недостаточно, так как в этом случае нельзя будет найти n неизвестных единственным образом. Для этого начальных условий должно быть n.
Определение. Решением задачи Коши называют решение следующей задачи: найти решение ДУ (1), удовлетворяющее начальным условиям:
(4)
Определение. Функция у=(х,С1,С2,…,Сn) называется общим решением ДУ (1), если:
( С1,С2,…,Сn) (х,С1,С2,…,Сn) является решением задачи ДУ (1).
( )Г (некоторая область, в которой определена f) (С1,С2,…,Сn) – набор произвольных постоянных, такой что
(х0,С1,С2,…,Сn)=у0
(х0,С1,С2,…,Сn)=у0
(х0,С1,С2,…,Сn)= у0
----------------------------
(n-1)( х0,С1,С2,…,Сn)=y(n-1)0
Теорема. (о решении задачи Коши)
Пусть функция f(x,y,y,y,…,y(n-1)) определена и непрерывна по всем своим переменным в некоторой области Г. В этой области непрерывны функции по всем своим переменным. Тогда в этой области существует единственное решение задачи Коши (4).
1.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
1.2.1. Уравнение вида у(n)=f(x).
Решим уравнение у(n)=f(x).
; ; ;
; ;…; .
Пример. .
Проинтегрируем последовательно четыре раза обе части уравнения.
; ;
; ; ; ; .
1.2.2. Уравнение вида y(n)=f(x,y(к),y(к+1),…,y(n-1)).
Рассмотрим уравнение y(n)=f(x,y(к),y(к+1),…,y(n-1)) (5)
Порядок этого уравнения можно понизить, сделав замену z=y(k). Тогда z=y(k+1), z=y(k+2),…,
z(n-(k+1))=y(n-1), z(n-k)=y(n). Тогда уравнение (5) примет вид z(n-k)=f(x,z,z,z,…,z(n-(k+1))) (6)
Решением этого уравнения, если таковое существует, является функция
z=( х,С1,С2,…,Сn-k) (7)
То есть y(k) =( х,С1,С2,…,Сn-k) (8)
Решив уравнение (8) к-раз последовательно проинтегрировав обе части, получим уравнение у=Ф(х,С1,С2,…,Сn).
1.2.3. Уравнение вида y(n)=f(y,y,y,…,y(n-1)).
Рассмотрим уравнение y(n)=f(y,y,y,…,y(n-1)) (9)
Особенностью этого уравнения является то, что в его правую часть не входит х. Порядок этого уравнения можно понизить, сделав замену у=р, Тогда у=f(y,y) (10)
Будем считать, что р=р(у) – некоторая функция от у, а у в свою очередь, есть функция от х. Тогда у=р(у(х)). Найдем у. . Полученный результат подставим в (10): – полученное уравнение является ДУ первого порядка с двумя переменными р и у. Решая это уравнение, получим р=(у,С1). Так как р=у, получим у=(у,С1) – уравнение с разделяющимися переменными.
; – найдем решение, проинтегрировав обе части.
Пример. Решить задачу Коши: ху-у=х2+1, у(-1)=0, у(-1)=1, у(-1)=0.
Уравнение не содержит у и у. Поэтому можем сделать замену z= у, тогда z= у. подставив в исходное уравнение, получаем: хz-z=х2+1. Разделив обе части на х, получим линейное ДУ первого порядка , решать которое будем методом произведения.
Пусть z=uv, подставим в уравнение: ; . v найдем из условия . ; ; ; ; ; v=x.
Тогда ; ; ; ; ; .
Тогда z= uv=x2+C1x-1. то есть у =x2+C1x-1. Дважды проинтегрируем полученную функцию: ; .
Найдем решение задачи Коши:
; ;
у (-1)=1-C1-1=-С1=0; С1=0.
Частное решение ДУ, соответствующее заданным начальным условиям, имеет вид: .
Пример. Решить задачу Коши: у3уу+1=0, у(1)=1, .
Данное ДУ не содержит х, поэтому понизим степень уравнения путем замены у=р(у). Тогда у=рр. Подставим в уравнение: у3ррр +1=0, у3р2р +1=0; ; ; ; ; ; ; ; . То есть . ; ; ; . Так как у(1)=1, получаем , то . Таким образом, частное решение ДУ, соответствующее начальным условиям, имеет вид: .