- •Лабораторная работа № 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •I. Краткие теоретические сведения.
- •1.1. Понятие дифференциального уравнения.
- •1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Метод произведения.
- •Метод Лагранжа.
- •Метод произведения.
- •1.2.4. Уравнение Бернулли.
- •1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах.
- •II. Примеры решения заданий практической части.
- •Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения .
- •Метод Лагранжа.
- •Метод произведения.
- •III. Задания для практической части.
- •Найти общее решение дифференциального уравнения.
- •Найти частное решение дифференциального уравнения.
Лабораторная работа № 13. Дифференциальные уравнения первого порядка.
I. Краткие теоретические сведения.
1.1. Понятие дифференциального уравнения.
Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.
Задача 1. Пусть задана производная некоторой функции у¢=f(x). По заданной производной найти функцию у(х).
З адача 2. Пусть с некоторой высоты h на землю падает тело массой m. Найти закон зависимости скорости падения тела от времени. То есть найти функцию v=v(t).
Решение.
По II закону Ньютона: . ma=mg-Fсопр.
; Fсопр=kv, где к– коэффициент сопротивления воздуха. Тогда .
Задача 3. Распад радиоактивного вещества. Экспериментальным путем была установлена формула зависимости распада радиоактивного вещества: , где m(t) – масса нераспавшегося в момент времени t вещества, a – коэффициент, зависящий от вещества, – скорость распада вещества.
Полученные в задачах 1-3 уравнения наряду переменными содержат производные некоторых функций. Такие уравнения называют дифференциальными.
Определение. Дифференциальными уравнениями (далее – ДУ) называют уравнения, в которые наряду с переменными входят неизвестные функции, а также производные этих функций.
Если неизвестная функция есть функция одной переменной, то такие ДУ называют обыкновенными ДУ; если неизвестная функция есть функция многих переменных, тогда такие ДУ называют ДУ в частных производных.
Далее будем изучать только обыкновенные ДУ и называть их дифференциальными уравнениями.
Определение. Порядок наивысшей производной, входящей в ДУ называется порядком ДУ.
В общем виде ДУ n–го порядка записывают в виде: F(x,y,y¢,…,y(n))=0, (1) причем х,у,у¢,…,у(n-1) могут и не входить в это уравнение.
Определение. Решением ДУ (1) называется такая функция, которая при подстановке в ДУ обращает его в тождество.
Например. Решение ДУ у¢=f(x) задачи 1 является функция .
Решение ДУ задачи 2 является функция .
Решение ДУ задачи 3 является функция m(t)=-aCe-at.
Замечание. Решением ДУ n-го порядка может быть только n раз дифференцируемая функция.
В том случае, если уравнение (1) можно представить в виде y(n)=f(x,y,y¢,…,y(n-1)), (2) говорят, что ДУ (1) разрешено относительно старшей производной.
В решениях задач 1-3 присутствует постоянная интегрирования С, таком образом, эти уравнения имеют бесконечно много решений.
1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка будем называть ДУ вида: y¢=f(x,y), (3) где функция f(x,y) определена на некоторой области ГÍR2.
В предыдущем параграфе был сделан вывод о том, что ДУ имеет бесконечное множество решений. Для того чтобы отыскать одно из решений, необходимо задать некоторые начальные условия.
Определение. Задачей Коши будем называть следующую задачу: найти решение ДУ , такое, чтобы выполнялось условие у(х0)=у0.
Решение задачи Коши называют частным решением ДУ.
Решение ДУ зависит не только от переменной х, но и от некоторой постоянной С. То есть решение ДУ есть функция у=j(х,С).
Определение. Общим решением ДУ называется функция у=j(х,С), такая что выполняются два условия:
1) "С у=j(х,С) – решение ДУ;
2) "(х0,у0)ÎГ $!С0 j(х0,С0)=у0.
Теорема. (Существование и единственность решения задачи Коши)
Пусть функция f(х,у) непрерывна по своим переменным внутри некоторой области Г и имеет в этой области непрерывную частную производную . Тогда в этой области существует и единственно решение задачи Коши.
Замечание. Решение задачи Коши в области Г может существовать, но не быть единственным. Это возможно в случае не выполнения условий теоремы.
Пример. Найти решение задачи Коши: 1) , у(0)=3; 2) , у(0)=0.
Решение. 1) найдем общее решение ДУ .
; . Так как в обеих частях уравнения стоят дифференциалы некоторых функций, проинтегрируем обе части уравнения. ; . Найдем решение задачи Коши, соответствующее условию у(0)=3. у(0)=3tg(0)+C=3; C=3. Таким образом, решением задачи Коши является функция у(х)=3tgх+3.
Ответ: у(х)=3tgх+3.
2) Найдем общее решение ДУ . ; . Так как в обеих частях уравнения стоят дифференциалы некоторых функций, проинтегрируем обе части уравнения. ; . Найдем решение задачи Коши, соответствующее условию у(0)=0. ; С=0. Таким образом, решением задачи Коши является функция .
Ответ: .