3. Производная по направлению. Градиент.

Пусть l=(lx;ly) – произвольный единичный вектор, т.е. такой вектор, что

.

|l|=lx2+ly2=1

Производной функции f(x,y) в точке (х0,у0) по направлению вектора l называется предел df(х0,у0)=lim f(х0+tlx,у0+tly)- f(х0,у0)

dl t0+0 t

Говорят также, что df(х0,у0)/dl – это скорость изменения функции в точке (х0,у0) в направлении вектора l.

Градиентом функции в точкеМ называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М.

Пример для функции от двух перменных. f(x,y) grad f(M)=(fx(M);fy(M)).

Градиент можно записать короче. df(M)(grad f(M),l)

dl

где (grad f(M),l) – скалярное произведение векторов.

[(grad f(M),l)=|grad f(M)|*|l|cos, l – единичный вектор] Ни количество аргументов функции f, ни длина вектора l не играет существенного значения при выводе формулы.

Вывод.Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.

4 Однородные функции. Формула Эйлера.

Опр. Пусть D  Rn – область в Rn, содержащая вместе с каждой своей точкой (х1, х2,…, хn) и все точки вида (tх1, tх2,…, tхn) при t >0. Функция f(х1,…, хn) c такой областью определения D называется однородной степени , если для любого t >0 выполняется равенство: f (tх1,…, tхn)= ta f (х1,…, хn).

С тепень однородности  может быть любым действительным числом. Например,

функция является однородной функцией степени 2π от переменных х и у.

Предположим, что дифференцируемая функция f (х, у) является одновременно и и однородной функцией степени . Фиксируя произвольную точку (х, у) для любого t >0, имеем

f (tх, tу)= ta f (х, у). Продифференцируем левую и правую части этого равенства по t (левую часть - по правилу диф-я сложной функции, правую часть – как степенную функцию). В результате приходим к тождеству:

f 'x (tх, tу)х+ f 'y (tх, tу)y = ta-1 f (х, у)

Положив t=1 , получим формулу Эйлера:

f 'x (х, у)х+ f 'y (х, у)y = f (х, у)

Аналогично записывается формула Эйлера для однородной функции от

любого числа аргументов. Например, для функции трех переменных она выглядит следующим образом:

f 'x (х, у,z)х+ f 'y (х, у,z)y + f 'z (х, у,z)z = f (х, у, z) или

и 'x x + и 'y y+ и 'z z= и (*)

Предположим, что функция и= f (х, у,z) не обращается в 0 в некоторой точке (х0, у0,z0). Разделив тогда левую и правую части равенства (*) на значение функции в этой точке, получим формулу:

Е их + Е иу + Е иz=

где Е их, Е иу., Е иz – коэффициенты эластичности и по х, по у, по z в точке (х0, у0,z0).

6. Неявные функции

Пусть переменная u, является функцией переменных х1, х2,…, хn, задается посредством функционального уравнения F (х1, х2,…, хn, u) = 0. В этом случае говорят, что u как функция аргументов х1, х2,…, хn задана неявно, а саму функцию u называют неявной функцией. Неявные функции могут задаваться и посредством системы функциональных уравнений.

Производная функции y = y(x), заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, где F(x, y) – диффиренцируемая функция переменных x и y, может быть вычислена по формуле: y’ = - F’x / F’y

При условии, что F’y ≠ 0.

Аналогично частные производные неявной функции двух переменных u = (х1, х2), заданной с помощью уравнения F(х1, х2, u) = 0, где F(х1, х2, u) – дифференцируемая функция переменных х1, х2, u могут быть вычислены по формулам: ∂u / ∂x1 = - F’x1 / F’u, ∂u / ∂x2 = - F’x2 / F’u.