4. Дифференциалльное исчисление функций нескольких переменных.

1

Правило, по которому каждой точке x (x1, x2,…, xn)  X (X  Rn) ставится в соответствие единственное действительное число y  E (E  R) называется функцией n переменных.

X  Rn – область определения функции

E  R – множество значений функции.

Пусть на множестве X  Rn задана функция f и пусть р0 – предельная точка для Х. Число а называется пределом функции f в точке р0, если для любой сходящейся к р0 последовательности рn, где все рn ≠ pa, соответствующая числовая последовательность f(pn) сходится к числу а. (lim f(p) = a)

PPo

Функция f, определенная на множестве Х  Rn, называется непрерывной в точке p0  X, если lim f(p) = f(p0), а также если р0 – изолированная точка

PPo

множества Х.

2 Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращения функции к приращению соответствующией независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Величина z=f(x0+x,y0+y)-f(x0,y0) (одновременное изменение величин х и у) называется полным приращением функции z в точке (x0,y0).Так же, как и в случае одной переменной возникает задача о приближённой замене приращения z( которая, как правило, является нелинейной функцией от х и у) на линейную функцию от х и у. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции, который определяется как сумма произведений частных производных функций на приращения независимых переменных. Так, в случае функции от двух переменных полный дифференциал определяется равенством dz=zxx+zyy. Следует помнить, что в различных точках (х0, у0) дифференциал будет различным.

Функция называется дифференцируемой в точке (х0, у0), если её полное приращение можно представить в виде z=f(x,y)- f(х0, у0)=fx(х0, у0)x+fy(х0, у0)y+p или, короче, z=dz+p, где =(х, у) – функция бесконечно малая при х 0,у0;

Геометрический смысл.

.

р=(х)2+(у)2 - расстояние от точки (х,у) до точки (х0,у0).

Дифференцируемость функции z=f(z,y) в точке (х0,у0) предполагает наличие производных zx и zy в этой точке. Поэтому, если хотя бы одна из указанных производных не существует , то функция не является дифференцируемой в точке (х0,у0).

Запишем линейный аналог уравнения, отбросив слагаемое р:

z-f(х0,у0)=fx(х0,у0)(x-x0)+fy(х0,у0)(y-y0). Это уравнение в коотдинатах x,y,z задаёт плоскость, которая называется касательной плоскостью к графику функции f(x,y) в точке (М(х0,у0), f(х0,у0)).

(можно доказать, что для любой последовательности точек {N1,N2,…}, принадлежащих графику функции z=f(x,y) ( и отличных от М), угол между прямой MN1 и касательной плоскостью стремится к нулю.

(Теорема Если функция z=f(x) дифференцируема в точке (х0,у0), то она непрерывна в этой точке.)