38,39) Решение уравнений и систем средствами Mathcad

Система Mathcad обладает широкими возможностями численного решения уравнений и систем уравнений.

Функция root, блоки Given…Find, Given…Minerr

В ходе численного решения обычно выделяют два этапа:

отделение корней – определение интервала нахождения каждого корня или определение приблизительного значения корня. В системе Mathcad наиболее наглядным будет отделение корней уравнения графическим способом;

уточнение корней – нахождение численного значения корня с указанной точностью.

Точность нахождения корня устанавливается с помощью системной переменной TOL (Convergence Tolerance – Допуск сходимости), которая по умолчанию равна 10^-3. Чем меньше значение TOL, тем точнее, вообще говоря, находится корень уравнения. Однако оптимальным является TOL = 10^-5. Переопределить значение TOL можно в окне математических свойств документа Math Options на вкладке Build-In Variables (Встроенные переменные) или присваиванием, например, TOL:=0.0001.

Для решения одного уравнения с одной неизвестной предназначена встроенная функция root, которая в общем виде задается

root(f(x), x, [a, b])

и возвращает значение переменной x, при котором функция f(x) обращается в ноль. Аргументы функции root:

f(x) – функция левой части уравнения f(x) = 0;

x – переменная, относительно которой требуется решить уравнение;

a, b (необязательные) – действительные числа, такие что a < b, причем на интервале [a, b] находится только один корень.

Если функция root не может найти корни уравнения, то рекомендуется уточнить начальное приближение по графику, изменить границы интервала [a, b] нахождения корня или увеличить значение системной переменной TOL.

Для решения уравнений или систем нескольких уравнений и неравенств используются функции Find или Minerr. Они входят в состав вычислительного блока, который включает в себя ключевое слово Given, набор уравнений и неравенств и завершается одной из указанных вычисляющих функций в составе какого-нибудь выражения.

Функция

Find(x1, x2, …)

возвращает значения неизвестных x1, x2, … , обращающих уравнения в верные тождества, т. е. возвращает точное решение системы уравнений или одного уравнения в частном случае. Для системы из n уравнений с n неизвестными решение возвращается в виде вектора, состоящего из n элементов.

Если в результате поиска не может быть получено решение с заданной точностью, то функция Find выдает сообщение об ошибке. В этом случае можно использовать функцию

Minerr(x1, x2, …),

возвращающую приближенное решение системы уравнений или одного уравнения (число уравнений должно быть равно числу неизвестных). При использовании minerr необходимо производить дополнительную проверку достоверности результатов решения системы.

Порядок применения блоков Given…Find, Given…Minerr для численного решения уравнений и систем уравнений:

Всем неизвестным, входящим в систему, задается начальное приближение.

При необходимости присваиваются требуемые значения системным переменным TOL и CTOL (Constraint Tolerance – Допуск ограничения).

Печатается ключевое слово Given, которое указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

Задаются уравнения и ограничения на поиск решения в виде неравенств (если они имеются) в любом порядке, каждое в отдельном формульном блоке, причем для записи используются операторы отношения палитры Boolean (Логические). Допускается использование двусторонних неравенств вида a ≤ x ≤ b.

Применяется функция Find или Minerr в составе какого-нибудь выражения. В качестве аргументов через запятую перечисляются имена входящих в систему переменных в том порядке, в котором должны быть расположены в ответе соответствующие им корни.

В случае использования функции Minerr выполняется проверка.

Внутри блока решения недопустимы следующие операции и выражения:

ранжированные переменные;

выражения, содержащие знак ≠;

локальное (:=) или глобальное (Ξ - тождественно равно) определение переменных и функций, за исключением выражения, в состав которого входит функция Find или Minerr;

другой блок решения. Каждый блок должен содержать только одно слово Given и одну решающую функцию.

В случае появления ошибки , означающей, что решение не было найдено, рекомендуется изменить начальное приближение или значения системных переменных TOL и CTOL.

Решение полиномиальных уравнений. Функция polyroots

Для решения полиномиальных уравнений вида

или нахождения всех корней полинома степени n, используют функцию

polyroots(v),

возвращающую вектор-столбец длины n, состоящий из корней полинома, как действительных, так и комплексных. Аргументом функции polyroots является вектор v длины n + 1 < 100, содержащий коэффициенты полинома.

Решить полиномиальное уравнение можно следующим образом:

задать полином;

выделить переменную синим управляющим курсором;

создать вектор коэффициентов полинома, выполнив последовательность команд главного меню Symbolics / Polynomial Coefficients (Символика / Коэффициенты полинома);

вырезать вектор коэффициентов полинома в буфер обмена;

задать переменную v и присвоить ей значение вектора коэффициентов полинома, вставив его непосредственно из буфера обмена;

применить функцию polyroots(v) в каком-нибудь выражении, например, X:=polyroots(v);

получить вектор корней полинома: X =.

Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

В матричном виде ее можно записать Ax = b,

где – матрица коэффициентов при неизвестных системы (матрица левой части системы);

– столбец свободных членов.

Как известно, система линейных алгебраических уравнений имеет решение, если ее определитель отличен от 0: det(A)=|A|≠0.

Умножим обе части матричного уравнения Ax = b на обратную матрицу коэффициентов при неизвестных системы A-1 слева: A-1Ax=A-1b. Учитывая, что A-1A, вектор-столбец решений системы можно искать в виде

x=A-1b.

Этот прием используется в Mathcad так:

задается матрица коэффициентов при неизвестных системы A;

задается столбец свободных членов b;

вводится формула для нахождения решения системы X:=A-1b;

выводится вектор решений системы X=.

40)

43) 3. Создание документа Создание любого текстового документа принято условно разбивать на три этапа: первый этап – ввод текста документа; второй – форматирование документа; третий – сохранение и вывод на печать В любой момент времени пользователь может прервать создание или редактирование документа, предварительно сохранив сделанные в нем изменения, и вернуться к работе над документом позже . Microsoft Word

4. Основные элементы окна Строка заголовка Полоса меню Панель инструментов (Стандартная) Панель инструментов (Форматирование) Управляющие линейки Управляющие линейки Полосы прокрутки Полосы прокрутки Строка состояния

5. Основные элементы окна Строка заголовка В Заголовке рабочего окна отображаются названия программы и редактируемого документа. В правом углу строки заголовка расположены стандартные кнопки управления окном. Microsoft Word

6. Основные элементы окна Полоса меню Microsoft Word Ниже заголовка окна находится Полоса меню с основными командами программы. Например, если вы хотите сохранить документ, то вам необходимо выбрать пункт меню Файл  Сохранить .

7. Основные элементы окна Microsoft Word Под полосой меню расположены Панели инструментов Стандартная и Форматирование, которые предназначены для быстрого выполнения команд. Для того чтобы узнать, какую именно команду выполняет данная кнопка, достаточно подвести курсор мыши к данной кнопке и поддержать две-три секунды, после чего высветиться всплывающая подсказка. Если щелкнуть левой кнопкой мыши по кнопке, нужная команды будет выполнена. Панель инструментов (Стандартная) Панель инструментов (Форматирование)

8. Основные элементы окна Microsoft Word В центре окна находится рабочее поле, на котором отображается текст документа.

9. Основные элементы окна Microsoft Word Вертикальная и горизонтальная линейки показывают, как текст размещается на странице. Окрашенные в темно-серый цвет участки на концах линеек отмечают области полей. Вертикальная линейка Горизонтальная линейка

10. Основные элементы окна Microsoft Word Справа и внизу окна находятся вертикальная и горизонтальная полосы прокрутки, которые предназначены для перемещения по тексту внутри окна в вертикальном и горизонтальном направлении. Горизонтальная полоса прокрутки Вертикальная полоса прокрутки

11. Основные элементы окна Microsoft Word Изменить вид рабочего окна программы можно с помощью команды меню Вид  Панели инструментов  …, добавляя или убирая флажки напротив соответствующих строк.

12. Основные элементы окна Microsoft Word Чтобы скрыть линейки, выберите в строке меню Вид  Линейка . Повторный вызов этой команды приведет к появлению линеек.

13. Основные элементы окна Microsoft Word Основные настройки программы можно найти с помощью команд меню Сервис  Настройка …, или Сервис  Параметры .

45) Вставка графических объектов

Создайте новый документ. Для этого в меню Файл щелкните на строке Создать.

Установите курсор в нужное место. Вставьте в это место документа какой-нибудь рисунок.

Для вставки рисунка обратитесь к меню Вставка, щелкните на строке Рисунок, а затем на строке Картинки или строке Из файла. Выберите рисунок или файл (например, какой-нибудь файл с одним из расширений bmp, gif, wmf из любой папки, содержащей такой файл), щелкните на нем, а затем на кнопке Добавить. Файл, содержащий рисунок будет вставлен в документ.

Перемещение рисунка. Щелкните на рисунке. Вокруг него появится обрамление из 8-ми квадратиков, а курсор мыши примет форму креста со стрелками. Теперь нажмите клавишу мыши и медленно ведите ее вместе с рисунком к месту, где вы желаете поместить рисунок.

Изменение размеров рисунка. Щелкните на рисунке. Подведите курсор к одному их обрамляющих квадратиков. Когда курсор примет вид двунаправленной стрелки нажмите левую клавишу мыши и перемещайте ее. Рисунок будет деформироваться. Щелкните на документе вне рисунка. Обрамление исчезнет.

Менять контраст и яркость рисунка можно с помощью соответствующих кнопок панели Обработка рисунков.

Выполните вышеописанные операции. Поэкспериментируйте с другими кнопками панели и рисунком. Действуйте смело, т.к. в случае неудачной операции над рисунком у вас всегда есть возможность сразу отменить нежелательное действие клавишей Отменить

Вставка надписей, текстов и текстовых объектов

Для нестандартной вставки небольших текстов можно использовать объект Надпись. Кнопка с изображением текста и буквицы , организующая этот объект находится на панели Рисование.

Достоинством этого объекта является возможность располагать текст, который он содержит, в любом месте страницы, без соблюдения интервалов, поверх любого объекта или его части, с различной ориентацией текста и т.д.

На этой панели содержится кнопка , которая позволяет организовать трансформированные ажурные надписи. Такие надписи называются объектами WordArt. Для организации этого объекта нажмите кнопку, выберите мышью его вид, внесите изменения в текст, установите шрифт и его размер. Затем, после появления на экране расположите его на странице, как располагали рисунок или надпись, поверните его с помощью кнопки Свободное вращение и т.д.

Панель Рисование содержит ряд других полезных кнопок, с помощью которых можно рисовать прямоугольники, отрезки прямых линий, стандартные фигурки, создавать обрамления, тени, устанавливать цвета, заливки этих элементов и т.д. Поупражняйтесь с кнопками этой панели.

Поэкспериментируйте с панелью WordArt, которая появляется на экране при выделении объекта. Деформируйте объект с помощью желтого квадратика. Если панель мешает работе, нажмите на ее заголовок и передвиньте в другое место.

Создание текстовых колонок.

Для формирования фрагмента текста в виде нескольких колонок нажмите клавишу Enter для перевода курсора на новый абзац.

Далее нужно организовать колонки. Для этого в меню Формат щелкните на строке Колонки. Установите параметры колонок, выбрав их количество, расстояние между ними и т.д. При этом в правой части окна демонстрируется вид колонок в зависимости от установленных параметров. Далее вводите текст. По мере набора текст будет автоматически и равномерно распределяться по колонкам.

По окончании ввода текста в колонки щелкните за нижними пределами фрагмента и продолжайте ввод в обычном порядке. Для того чтобы можно было видеть границы фрагмента колонок, щелкните на кнопке Непечатаемые символы, расположенной на панели Стандартная. При этом на экране появятся невидимые символы: разрывы, абзацы и пробелы, которые позволят, в частности, видеть границы текста между разрывами. Для того чтобы убрать непечатаемые символы вновь щелкните на той же кнопке.