9 Задача на число сочетаний.

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Решение

Задачи первого варианта можно выбрать способами. После этого останется 10 задач, следовательно, второй вариант можно составить способами. Для третьего варианта задачи можно выбрать способом. По правилу произведения получаем, что число способов равно Однако нам всё равно, какой вариант будет первым, какой – вторым, а какой – третьим. Потому найденное число нужно разделить на число перестановок из трёх элементов, то есть на 3!. Окончательно получаем, что число способов равно способов. Ответ. 126126.

10 Найти все отображения одного множества в другое и проверить их

количество.

Отображение множества в другом множестве

Точки F и G являются точками пересечения соответствующих значений количества и величины плотности колебания действия, и в этом своем свойстве они для нас неразличимы. Чтобы узнать - какой из них соответствует точка Е, мы должны найти различие точек F и G, и их отношение к точке Е.

Эти точки, F и G, выражают значение числа одного колебания действия, и расположены на векторе колебания действия, а значит на окружности вращения безотносительного действия. А потому их различие может заключаться только в различии угла вращения числа одного безотносительного действия, определяемого в точках F и G, или в различии положения относительно общего нуля значений, который является здесь и нулем вращения безотносительного действия.

Назначенное нами направление вращения безотносительного действия - против часовой стрелки от начала колебания действия, то есть, от точки С отрицательной оси абсцисс. Соответственно, в положительном значении колебания действия, вращение продолжается по часовой стрелке. И тогда угол a вектора безотносительного действия меньше угла b того же вектора. И этим точки Н, К, F, и G, обретают свои координаты, которыми становятся углы вращения радиуса.

Но координаты этих точек мы определили относительно системы координат и относительно их самих себя, кроме точки Е, кроме их своего отображения на оси х. Относительно неё, мы не можем определить здесь - какая из точек F и G соответствует точке Е.

Значение угла вращения здесь не может дать нам определенности координат точек F и G относительно точки Е. Поэтому известными координатами здесь остаются для нас координаты точек F и G, а также радиус и длина окружности вращения безотносительного действия. Из этих определенностей, только длина окружности может дать нам различие точек F и G, которое заключается в том, что они расположены на различном расстоянии по окружности вращения от нуля значений колебания действия. То, что длина окружности отображается в диаметре, мы уже знаем, и потому различие длины отрезков отображения дуг окружности 0F и 0G, соответственно отображается в различии длин отрезков 0Н и 0К. Постоянной величиной здесь остается радиус, поэтому координаты точек F и G относительно их друг друга и нуля значений, будут определяться углом вращения радиуса, или отношением радиуса к его отображению в этих углах на оси абсцисс.

Результат этого отношения совершенно одинаков для любого значения радиуса окружности, и потому может служить абстрактной координатой для площади плоскости сечения любого значения числа одного колебания действия. Таким же образом мы можем определить координаты любой точки площади плоскости сечения колебания действия. Для этого надо провести параллельные оси ординат линии отображения из каждой точки множества значений количества колебания действия на оси абсцисс.

Эти линии отображения точек множества значений количества числа одного колебания действия, также представляют собой множество, поскольку каждая линия отображения представляет собой определенное значение количества числа одного колебания действия. Но точки пересечения линий отображения и окружности, не являются здесь точками значений количества колебания действия под соответствующим углом, поскольку здесь мы рассматриваем положительный полупериод колебания действия, который является вращением числа одного безотносительного действия.

Точно также можно построить линии отображения и в отрицательном полупериоде колебания действия, и потому можно подумать, что мы нашли плоскость сечения множества значений количества числа одного колебания действия. Однако, точки значения количества безотносительного действия на линиях отображения не могут служить  точками значений количества числа одного колебания действия, поскольку любая точка на линиях отображения выражает как определенное значение количества безотносительного действия, так и определенное количество числа одного колебания действия, относительно точки С. И как можно увидеть, любые две соответствующие друг другу точки на оси абсцисс и на окружности вращения безотносительного действия, имеют относительно оси абсцисс одну и ту же координату. Поэтому вектор колебания действия не может быть сечением множества значений количества колебания действия.

Таким образом, у нас имеется множество значений количества безотносительного действия, в котором представлена окружность, также представляющая собой какое-то множество значений колебания действия. Но вместе с этим, каждая точка линий отображения значений количества действия, и точки их пересечения с окружностью безотносительного действия, имеют соответствующие им точки отображения на оси ординат множества значений величины плотности колебания действия. И тогда каждая точка полуокружности вращения безотносительного действия получает определенные координаты относительно обоих осей.

Таким образом, каждая точка полуокружности становится точкой пересечения множеств значений количества и величины плотности числа одного колебания действия. Но полученная нами во множестве значений количества колебания действия, эта полуокружность не является сечением множества значений количества числа одного колебания действия. И так как эта полуокружность обретает определенные координаты относительно оси ординат, то стало быть, мы нашли отображение множества значений величины плотности числа одного колебания действия, во множестве значений его количества.

11 Перечислить все сюръекции одного множества в другое и проверить их

количество.

Функция называется сюръективной, если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция сюръективна, если образ множества при отображении совпадает с множеством : .

Такое отображение называется ещё отображением на.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в.

12 Перечислить все инъекции одного множества в другое и проверить их

количество.

Функция называется инъективной (или, коротко, инъекция), если разным элементам множества сопоставлены разные элементы множества . Более формально, функция инъективна, если для любых двух элементов таких, что , непременно выполняется .

Другими словами, сюръекция — это когда «у каждого образа есть прообраз», а инъекция — это когда «разные — в разные». То есть при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов отображались в один и тот же элемент . А при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент не имел прообраза.

13 Задача на число размещений.