39,40 Функции нескольких переменных
Функция переменных является дифференцируемой в точке своей области определения , если для любой точки существуют такие константы , что
где .
В этой записи функция
является дифференциалом функции в точке , а числа являются частными производными функции в точке , то есть
где — вектор, все компоненты которого, кроме -ой, равны нулю, а -ая компонента равна 1.
Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных , равную при и при . В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.
выше
выше
Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области и . Тогда при малых определено ее частное приращение по : .
Определение. Частной производной функции по переменной в точке называют предел
,
если он существует.
Частную производную по обозначают одним из следующих символов:
.
Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.
Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.
В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.
Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.
Пусть функция определена на множестве и точка . Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции если . Точки локального минимума (максимума) называются точками локального экстремума.
Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция определена в и имеет локальный экстремум в точке . Если ,
то .
Теорема (достаточное условие локального экстремума). Пусть функция определена в и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка. Пусть . Если является знакоопределенной квадратичной формой, тогда - точка локального экстремума, причем если - локальный минимум, а если - локальный максимум.
Первообра́зной[1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы
для неопределённого интеграла:
для определённого:
Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправдано.