Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
-
Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки ,
Пусть
Пусть — произвольное положительное число,
тогда: точка при или при :
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
Запишем остаточный член в общей форме:
, где a< <x
(x< <a ). Отметим, что зависит от x, n, p.
Очевидно, найдется такое число ( зависит от x, n, p): 0< <1, что
-a= (x-a). Отсюда =a+ (x-a), x- =(x-a) - (x-a)=(x-a)(1- ) и .
Итак, .
1. Пусть p=n+1, тогда - остаточный член в форме Лагранжа.
2. Если p=1, то - остаточный член в форме Коши.
Отметим, что в этих формулах значения , вообще говоря, считаются различными, так как зависит от р, которое различно в этих формулах.
Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема. Пусть функция f(x) имеет производные до порядка (n-1) в некоторой окрестности точки а и производную порядка n в самой точке а, тогда справедливо равенство (бесконечно малая при х а более высокого порядка малости, чем ). Последняя формула есть остаточный член в форме Пеано.
Правило Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии. За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам. Замкнутое множество содержит все своиточки прикосновения.
36. Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М С помощью кванторов определение запишется следующим образом: М ∈ Ε – открытое, если ∀ у∈М ∃ ε>0 : Uε(y) < M
Простым языком – открытое множество состоит из внутренних точек. Примерами открытого множества являются пустое множество, прямая, интервал (а, b)
Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример – отрезок [a, b]
Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая).
Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами.
Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.
Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при .
В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при .
Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости).
Д. п. последовательности, предел двойной последовательности {х тп}, т, n=1, 2, ...,- число а, определяемое следующим образом: для любого е>0 существует такое Ne, что для всех m>Ne и n>Ne выполняется неравенство
Обозначение:
Если для любого e>0 существует такое Ne, что для всех m>Ne и n>Ne выполняется неравенство |xmn|>e, то последовательность х тп имеет своим пределом бесконечность:
Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой выколотой окрестности точки . Выберем и зафиксируем переменную . Получим функцию как бы одной переменной. Рассмотрим предел:
Будем считать, что существует. Теперь снимем фиксацию с переменной и рассмотрим следующий предел:
Если этот предел существует, то говорят, что есть повторный предел функции в точке .
Аналогично мы можем фиксировать сначала переменную . В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:
Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных .